EE263 Lecture 10 Autonomous linear dynamical systems

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这次回顾第十讲,这一讲结束了线性自治动力系统部分的内容。

化学反应

  • 化学反应涉及$n$种化学物质;$x_i$是化学物质$i$的浓度

  • 反应动力学的线性模型为

  • 上述模型是一些反应的良好模型; $A$通常很稀疏

来看一个具体例子,考虑$A \stackrel{k_{1}}{\longrightarrow} B \stackrel{k_{2}}{\longrightarrow} C$的反应,对应线性系统为

对于$k_{1}=k_{2}=1$,初值$x(0)=(1,0,0)$,作图得到

注意到动力矩阵的每一列和为$0$,我们计算如下量:

所以

即化学物质的质量守恒。

有限状态离散时间的马尔可夫链

$z(t) \in\{1, \ldots, n\}$是随机序列,并且

其中$P\in \mathbb R^{n\times n}$是状态转移矩阵。

将概率分布$z(t)$表达为$n$维向量:

所以

在上述定义下,可以得到如下递推式

$P$通常为稀疏矩阵。

马尔可夫链可以用图像表示,其中

  • 节点表示状态
  • 边展示转移概率

例如

上图对应的递推式为

连续系统的数值积分

计算$\dot{x}=A x, x(0)=x_{0}$的近似解。

假设$h$是很小的时间间隔,简单的近似(前向欧拉)为

将上述系统离散化,递推可得

高阶线性动力系统

其中$x^{(m)}$表示$m$阶导数。定义新变量

那么

上述系统的框图为

在平衡点附线性化

考虑非线性,和时间无关的微分方程:

其中$f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$

假设$x_e$是平衡点,即

(所以$x(t)=x_e$满足微分方程)

假设$x(t)$在$x_e$附近,那么

令$\delta x(t)=x(t)-x_{e}$,上述系统可以重写为

例子:单摆

二阶非线性微分方程为

取$x=\left[\begin{array}{l}{\theta} \ {\dot{\theta}}\end{array}\right]$,将上述系统重写为$1$阶微分方程

平稳点为$x_e=0$,在$x_e=0$处线性化上述系统得到

线性化是否有效?

线性化系统通常有效,但是有时候效果也不太好,考虑如下两个例子。

例1:

对于$x(0)>0$,解为$x(t)=\left(x(0)^{-2}+2 t\right)^{-1 / 2}$。

线性化系统为$\dot{\delta x}=0$,解为常数。

例2:

对于$z(0)>0$,解为$z(t)=\left(z(0)^{-2}-2 t\right)^{-1 / 2}$。

线性化系统为$\dot{\delta z}=0$,解为常数。

对应图像为

可以看出线性化的系统效果明显不好。

本文标题:EE263 Lecture 10 Autonomous linear dynamical systems

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年06月12日 - 09:43:00

最后更新:2019年06月12日 - 09:43:32

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