EE261 Lecture 3

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这次回顾第三讲,这一讲讨论傅里叶级数成立的条件。

周期非$1$的情形

我们之前讨论的都是周期为$1$的情形,那么一般情形如何处理?如果$f(t)$周期为$T$,那么

周期为$1$。假设

或者不考虑收敛性,即

令$s=Tt$,那么$g(t)= f(s)$,因此

所以现在的简谐波为$e^{2 \pi i n s / T}$。那么系数现在如何计算呢?注意到

令$s=Tt$,积分变为

所以周期为$T$的函数$f(t)$的傅里叶级数为

其中

因为积分区间只要任取长度为$T$的区间即可,所以还可以取

注记:后续还会使用如下形式的简谐波

对应系数为

上述讨论都是假设函数能够展开为傅里叶级数的形式,那么这种假设真的成立吗?下面讨论两个例子。

例 1 方波

考虑方波:

一个周期内的函数为:

下面计算其傅里叶系数:

注意到

所以傅里叶级数为

注意到

令$n=2k+1$,所以傅里叶级数为

考虑有限项表示:

现在的问题是上述等式能否成立?答案是否定的,因为等式右边是有限项连续函数之和,其结果也是连续函数,而$f(t)$不是连续函数,所以等号显然不能成立。

例 2 三角波

考虑三角波:

一个周期内的函数为

计算其系数得到傅里叶级数:

考虑有限项表示:

上述等式能否成立?答案依旧是否定的,因为等式右边是有限项可微函数之和,其结果也是可微函数,但是$f(t)$在$\frac 1 2$处不可微。

这两个例子告诉我们,傅里叶开展需要一定的条件保证,这也是后续讨论的重点。

理论部分

结论

这部分讨论理论基础。

首先对我们讨论的函数范围进行约束,这里我们只讨论有限能量的函数:

定义如下范数:

范数有如下性质

利用该范数定义距离:

那么$|f-g|=0$等价于$f=g$。

定义$L^{2}([0,1])$是定义在$[0,1]$的全体函数$f(t)$,满足

在上述条件下,可以验证傅里叶系数存在。

假设$f(t)$属于$L^{2}([0,1])$,令

那么有如下结论:

  1. 任取有限$N$,如下级数

    为$L^{2}([0,1])$中次数为$N$的三角多项式对$f(t)$的最佳近似。

  2. 复指数项$e^{2 \pi i n t},(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$形成$L^{2}([0,1])$的正交基,1中的部分和收敛到$f(t)$,这意味着

    我们将上述事实写为

  3. $f(t)$的能量可以由傅里叶系数计算出来:

    该结论被称为Rayleigh等式或Parseval定理。

  4. 如果$\left\{c_{n} : n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\right\}$是任意满足如下条件的复数序列

    那么函数

    属于$L^{2}([0,1])$。

上述理论课程中没有给出详细的证明,只需了解即可。

内积
向量内积

这部分介绍内积的概念,首先介绍向量内积。

记向量为

$v$的范数定义为

向量$v$和$w$的范数为$|{v}-{w}|$。

对于向量${v}=\left(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\right)$和${w}=\left(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}\right)$,定义内积为

注意到

因此

内积有如下性质:

  1. $({v}, {v}) \geq 0$并且$({v}, {v})=0$当且仅当$v=0$
  2. $(v,w)=(w,v)$
  3. $(\alpha {v}, {w})=\alpha({v}, {w})$
  4. $(v+w, u)=(v,u)+(w,u)$

另一种内积的定义为

正交基:

$\mathbb R^n$的标准正交基为

所以$ {v}=\left(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\right)$可以表达为

显然我们有

其中

注意到

因此

如果

那么

函数内积

对于$f(t),g(t)\in L^2([0,1])$,定义内积为

该内积有如下性质:

  1. $(f, g)=\overline{(g, f)}$
  2. $(f, f) \geq 0$并且$({f}, {f})=0$当且仅当$f=0$
  3. $(\alpha f, g)=\alpha(f, g), (f, \alpha g)=\overline{\alpha}(f, g)$
  4. $(f+g, h)=(f, h)+(g, h),(f, g+h)=(f, g)+(f, h)$

并且

接下来讨论该内积和傅里叶级数的关系,首先讨论周期为$1$的函数$f(t)$,定义$e_{n}(t)=e^{2 \pi i n t}$,经过计算不难得到

所以$e_n(t)$正交。

类似向量内积的情形,我们有

所以傅里叶级数可以写成

对于周期为$T$的函数$f(t)$,定义

那么

计算可得

那么我们同样有

瑞利等式

对于傅里叶系数,我们有如下等式

该等式的直观理解可以向量范数

证明:

因为

所以

本文标题:EE261 Lecture 3

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年06月12日 - 22:16:00

最后更新:2019年06月12日 - 22:24:03

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/06/12/EE261 Lecture 3/

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