EE261 Lecture 3

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这次回顾第三讲，这一讲讨论傅里叶级数成立的条件。

周期非$1$的情形

我们之前讨论的都是周期为$1$的情形，那么一般情形如何处理？如果$f(t)$周期为$T$，那么

$$g(t)=f(T t)$$

周期为$1$。假设

$$g(t)=\sum_{n=-N}^{N} c_{n} e^{2 \pi i n t}$$

或者不考虑收敛性，即

$$g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{2 \pi i n t}$$

令$s=Tt$，那么$g(t)= f(s)$，因此

$$f(s)=g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{2 \pi i n t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{2 \pi i n s / T}$$

所以现在的简谐波为$e^{2 \pi i n s / T}$。那么系数现在如何计算呢？注意到

$$\hat{g}(n)=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i n t} g(t) d t$$

令$s=Tt$，积分变为

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} e^{-2 \pi i n t} g(t) d t &=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i n s/T} g\left( t\right) d ( s/T) \\ &=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{-2 \pi i n s / T} f(s) d s \end{aligned}$$

所以周期为$T$的函数$f(t)$的傅里叶级数为

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{2 \pi i n t / T}$$

其中

$$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{-2 \pi i n t / T} f(t) d t$$

因为积分区间只要任取长度为$T$的区间即可，所以还可以取

$$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} e^{-2 \pi i n t / T} f(t) d t$$

注记：后续还会使用如下形式的简谐波

$$\frac{1}{\sqrt{T}} e^{2 \pi i n t / T}$$

对应系数为

$$c_{n}=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} e^{-2 \pi i n t / T} f(t) d t$$

上述讨论都是假设函数能够展开为傅里叶级数的形式，那么这种假设真的成立吗？下面讨论两个例子。

例 1 方波

考虑方波：

一个周期内的函数为：

$$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}{+1} & {0 \leq t<\frac{1}{2}} \\ {-1} & {\frac{1}{2} \leq t<1}\end{array}\right.$$

下面计算其傅里叶系数：

$$\begin{aligned} \hat{f}(n) &=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i n t} f(t) d t \\ &=\int_{0}^{1 / 2} e^{-2 \pi i n t} d t-\int_{1 / 2}^{1} e^{-2 \pi i n t} d t \\ &=\left[-\frac{1}{2 \pi i n} e^{-2 \pi i n t}\right]_{0}^{1 / 2}-\left[-\frac{1}{2 \pi i n} e^{-2 \pi i n t}\right]_{1 / 2}^{1}\\ &=\frac{1}{\pi i n}\left(1-e^{-\pi i n}\right) \end{aligned}$$

注意到

$$1-e^{-\pi i n}=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {n \text { even }} \\ {2} & {n \text { odd }}\end{array}\right.$$

所以傅里叶级数为

$$\sum_{n \neq 0} \frac{1}{\pi i n}\left(1-e^{-\pi i n}\right) e^{2 \pi i n t}= \sum_{n \text { odd }} \frac{2}{\pi i n} e^{2 \pi i n t}$$

注意到

$$\frac{2}{\pi i n} e^{2 \pi i n t}-\frac{2}{\pi i n} e^{-2 \pi i n t} =\frac{2}{\pi i n}\times 2i \sin 2\pi nt=\frac{4}{\pi n}\sin 2\pi nt$$

令$n=2k+1$，所以傅里叶级数为

$$f(t)=\frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2 k+1} \sin 2 \pi(2 k+1) t$$

考虑有限项表示：

$$f(t)=\frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{2 k+1} \sin 2 \pi(2 k+1) t$$

现在的问题是上述等式能否成立？答案是否定的，因为等式右边是有限项连续函数之和，其结果也是连续函数，而$f(t)$不是连续函数，所以等号显然不能成立。

例 2 三角波

考虑三角波：

一个周期内的函数为

$$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{2}+t} & {-\frac{1}{2} \leq t \leq 0} \\ {\frac{1}{2}-t} & {0 \leq t \leq+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$$

计算其系数得到傅里叶级数：

$$\frac{1}{4}+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{\pi^{2}(2 k+1)^{2}} \cos (2 \pi(2 k+1) t)$$

考虑有限项表示：

$$f(t)=\frac{1}{4}+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{\pi^{2}(2 k+1)^{2}} \cos (2 \pi(2 k+1) t)$$

上述等式能否成立？答案依旧是否定的，因为等式右边是有限项可微函数之和，其结果也是可微函数，但是$f(t)$在$\frac 1 2$处不可微。

这两个例子告诉我们，傅里叶开展需要一定的条件保证，这也是后续讨论的重点。

理论部分

结论

这部分讨论理论基础。

首先对我们讨论的函数范围进行约束，这里我们只讨论有限能量的函数：

$$\int_{0}^{1}|f(t)|^{2} d t<\infty$$

定义如下范数：

$$\|f\|=\left(\int_{0}^{1}|f(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2}$$

范数有如下性质

$$\begin{aligned} \|\alpha f\|&=\|\alpha\| \|f\|\\ \|f+g\| &\le\|f\|+\|g\| \end{aligned}$$

利用该范数定义距离：

$$\|f-g\|=\left(\int_{0}^{1}|f(t)-g(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2}$$

那么$|f-g|=0$等价于$f=g$。

定义$L^{2}([0,1])$是定义在$[0,1]$的全体函数$f(t)$，满足

$$\int_{0}^{1}|f(t)|^{2} d t<\infty$$

在上述条件下，可以验证傅里叶系数存在。

假设$f(t)$属于$L^{2}([0,1])$，令

$$\hat{f}(n)=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i n t} f(t) d t, \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

那么有如下结论：

1. 任取有限$N$，如下级数

   $$\sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n) e^{2 \pi i n t}$$

   为$L^{2}([0,1])$中次数为$N$的三角多项式对$f(t)$的最佳近似。

2. 复指数项$e^{2 \pi i n t},(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$形成$L^{2}([0,1])$的正交基，1中的部分和收敛到$f(t)$，这意味着

   $$\lim _{N \to \infty}\left\|\sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n) e^{2 \pi i n t}-f(t)\right\|=0$$

   我们将上述事实写为

   $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n) e^{2 \pi i n t}$$

3. $f(t)$的能量可以由傅里叶系数计算出来：

   $$\int_{0}^{1}|f(t)|^{2} d t=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|\hat{f}(n)|^{2}$$

   该结论被称为Rayleigh等式或Parseval定理。

4. 如果$\left\{c_{n} : n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\right\}$是任意满足如下条件的复数序列

   $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2}<\infty$$

   那么函数

   $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{2 \pi i n t}$$

   属于$L^{2}([0,1])$。

上述理论课程中没有给出详细的证明，只需了解即可。

内积

向量内积

这部分介绍内积的概念，首先介绍向量内积。

记向量为

$$\|{v}\|=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right)$$

$v$的范数定义为

$$\|{v}\|=\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}\right)^{1 / 2}$$

向量$v$和$w$的范数为$|{v}-{w}|$。

对于向量${v}=\left(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\right)$和${w}=\left(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}\right)$，定义内积为

$$v \cdot {w}=v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}+\cdots+v_{n} w_{n}$$

注意到

$$v \cdot v=v_{1} v_{1}+v_{2} v_{2}+\cdots+v_{n} v_{n}$$

因此

$$\|{v}\|=({v}, {v})^{1 / 2}$$

内积有如下性质：

1. $({v}, {v}) \geq 0$并且$({v}, {v})=0$当且仅当$v=0$
2. $(v,w)=(w,v)$
3. $(\alpha {v}, {w})=\alpha({v}, {w})$
4. $(v+w, u)=(v,u)+(w,u)$

另一种内积的定义为

$$({v}, {w})=\|{v}\|\|{w}\| \cos \theta$$

正交基：

$\mathbb R^n$的标准正交基为

$${e}_{1}=(1,0, \ldots, 0), {e}_{2}=(0,1, \ldots, 0), \ldots, {e}_{n}=(0,0, \ldots, 1)$$

所以$ {v}=\left(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\right)$可以表达为

$${v}=v_{1}{e}_{1}+v_{2} {e}_{2}+\cdots+v_{n} {e}_{n}$$

显然我们有

$$\left({e}_{i}, {e}_{j}\right)=\delta_{i j}$$

其中

$$\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {i=j} \\ {0} & {i \neq j}\end{array}\right.$$

注意到

$$(v,e_k)=v_k$$

因此

$${v}=\sum_{k=1}^{n}\left({v}, {e}_{k}\right) {e}_{k}$$

如果

$$v.w=v^Tw=0$$

那么

$$\begin{aligned} \|v+w \| &=(v+w)^T(v+w)\\ &=v^Tv + w^Tw +v^Tw +w^T w\\ &=\| v\|^2 +\| w\|^2 \end{aligned}$$

函数内积

对于$f(t),g(t)\in L^2([0,1])$，定义内积为

$$(f, g)=\int_{0}^{1} f(t) \overline{g(t)} d t$$

该内积有如下性质：

1. $(f, g)=\overline{(g, f)}$
2. $(f, f) \geq 0$并且$({f}, {f})=0$当且仅当$f=0$
3. $(\alpha f, g)=\alpha(f, g), (f, \alpha g)=\overline{\alpha}(f, g)$
4. $(f+g, h)=(f, h)+(g, h),(f, g+h)=(f, g)+(f, h)$

并且

$$(f, f)=\int_{0}^{1} f(t) \overline{f(t)} d t=\int_{0}^{1}|f(t)|^{2} d t=\|f\|^{2}$$

接下来讨论该内积和傅里叶级数的关系，首先讨论周期为$1$的函数$f(t)$，定义$e_{n}(t)=e^{2 \pi i n t}$，经过计算不难得到

$$\left(e_{n}, e_{m}\right)=\delta_{n m}=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {n=m} \\ {0} & {n \neq m}\end{array}\right.$$

所以$e_n(t)$正交。

类似向量内积的情形，我们有

$$\left(f, e_{n}\right)=\int_{0}^{1} f(t) \overline{e_{n}(t)} d t=\int_{0}^{1} f(t) e^{-2 \pi i n t} d t=\hat f(n)$$

所以傅里叶级数可以写成

$$f=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(f, e_{n}\right) e_{n}$$

对于周期为$T$的函数$f(t)$，定义

$$e_{n}(t)=\frac{1}{\sqrt{T}} e^{2 \pi i n t / T}$$

那么

$$\left(e_{n}, e_{m}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {n=m} \\ {0} & {n \neq m}\end{array}\right.$$

计算可得

$$\left(f, e_{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f(t) e^{-2 \pi i n t / T} d t$$

那么我们同样有

$$f=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(f, e_{n}\right) e_{n}$$

瑞利等式

对于傅里叶系数，我们有如下等式

$$\| f\|^2=\int_{0}^{1}|f(t)|^{2} d t=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|\hat{f}(n)|^{2}$$

该等式的直观理解可以向量范数

$$\|{v}\|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}$$

证明：

因为

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n) e^{2 \pi i n t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(f, e_{n}\right) e_{n}$$

所以

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1}|f(t)|^{2} d t &=\|f\|^{2}\\ &=(f, f) \\ &=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(f, e_{n}\right) e_{n}, \sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(f, e_{m}\right) e_{m}\right) \\ &=\sum_{n, m}\left(f, e_{n}\right) \overline{\left(f, e_{m}\right)}\left(e_{n}, e_{m}\right)\\ &=\sum_{n, m=-\infty}^{\infty}\left(f, e_{n}\right) \overline{\left(f, e_{m}\right)} \delta_{n m} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(f, e_{n}\right)\overline{\left(f, e_{n}\right)}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|\left(f, e_{n}\right)\right|^{2}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|\hat{f}(n)|^{2} \end{aligned}$$