EE261 Problem Set 1

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这次回顾Problem Set 1。

Problem 1

(a)记

那么

相减得到

接着讨论级数收敛的问题。

如果$p=-\infty,q< \infty​$,那么当$|w|>1​$时,级数收敛,并且

如果$q=\infty,p>-\infty​$,那么当$|w| <1​$时,级数收敛,并且

如果$q=\infty,p= -\infty$,那么由之前讨论可得,该级数必然发散。

最后将收敛情形总结如下:

(b)对上式中取

得到

注意$e^{2 \pi i n / N}$为$1$的$N$次单位根,所以上式的几何解释为$1$的$N$次单位根的重心为原点。

(c)对上式中取

得到

Problem 2

(a)直线段必然为两部分的叠加,所以方程为

(b)依然由直线段为两部分的叠加,得到方程为

(c)区间$[1,3]$为第一个波的左半部分,根据此确定第二个波即可:

(d)类似上一题得到

由几何关系,我们得到如下约束

Problem 3

(a)

(b)

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def Lambda(t, a):
t1 = np.abs(t)
r = 1 - t1 / a
index = (t1 > a)
r[index] = 0

return r

def f(T, n=5):
#10个周期的点
t = np.linspace(-n * T, n * T, 1000)
r = Lambda(t, 1 / 2)
for i in range(1, n):
r1 = Lambda(t - i * T, 1 / 2)
r2 = Lambda(t + i * T, 1 / 2)
r += r1
r += r2
plt.plot(t, r)
plt.title("T={}".format(T))
plt.xlim(-(n-1) * T, (n-1) * T)
plt.show()

T = [1/2, 3/4, 1, 2]
for t in T:
f(t)

(c)如果$f(t)=0$,那么结论成立;否则由$f(t)$在任意一点有定义,累加项$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t-n T)$必然不收敛,所以

Problem 4

符号解释:$\gcd $表示最大公约数,$\text{lcm}$表示最小公倍数。

(a)因为

所以$1$是$f(x)$的周期。接着求最小正周期,假设$T$为周期,那么

要使得最后一个等号成立,那么必然要有$mT$为整数,$nT$为整数,所以必然有$T$为有理数,因此不妨设

那么

所以必然有

那么

所以最小正周期为

(b)因为

所以$g(x)$是周期函数。接着求最小正周期,假设$T$为周期,那么

要使得最后一个等号成立,那么必然要有$mT$为整数,$nT$为整数,所以$T$为有理数,因此不妨设

那么

所以

因此

那么

所以最小正周期为

(c)反证法,假设$f(t)$是周期函数,并且周期为$T$,那么

令$t=0$,那么

那么必然有

相除得到

这就与$\sqrt 2$是无理数产生了矛盾。

(d)

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#参数
nu1 = 2
nu2 = 1
start = 0
end = 5
step = 0.0001
t = np.arange(start, end, step)
v = 3 * np.cos(2 * np.pi * nu1 * t - 1.3) + 5 * np.cos(2 * np.pi * nu2 * t + 0.5)

plt.plot(t, v)
plt.show()
print(np.max(v))

1
5.781103145757635

Problem 5

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)重新计算之前结论。

首先如果$h(x)$周期为$1$,那么

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Problem 6

(a)首先验证收敛性。

假设

那么

因为$0\le r<1​$,所以上述级数绝对收敛,因此有定义。

那么

所以

所以

(b)注意$f(\theta)$为实数,所以

那么

(c)由傅里叶系数的计算公式可得

带入$u(r,\theta )​$的计算公式得到

(d)回顾之前的计算过程,我们有

所以

由(a)可知$P(r,\theta)$是简谐函数。

本文标题:EE261 Problem Set 1

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年06月04日 - 20:34:00

最后更新:2019年06月04日 - 20:37:02

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/06/04/EE261 Problem Set 1/

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