EE261 Lecture 1 and Lecture 2

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE261

最近开始学习EE261——The Fourier Transform and its Applications，课程详细介绍了傅里叶变换及其应用。

这次回顾第一讲和第二讲，主要内容为傅里叶变换以及傅里叶序列。

内容回顾

傅里叶变化的起源来自于周期性现象的研究，简单来说，周期性现象可以简单分为时间周期性以及空间周期性。

周期函数的定义

我们称函数$f(t)$的周期为$T>0$，如果对所有$t$，

$$f(t+T)=f(t)$$

显然周期的整数倍仍然为周期，即

$$f(t+n T)=f(t), \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

为了讨论方便，假设函数的周期为$1$（很容易拓展到一般情形）。

傅里叶序列

课程对于傅里叶分析的讨论是从傅里叶序列开始，首先考虑最简单的情形：

$$\sum_{n=1}^{N} A_{n} \sin \left(2 \pi n t+\phi_{n}\right)$$

显然这种情形不够一般化，增加常数项以及$\cos $项，得到：

$$\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left(a_{n} \cos (2 \pi n t)+b_{n} \sin (2 \pi n t)\right) \tag 1$$

（备注：$a_i, b_i$均为实数）

为了代数处理方便，我们利用欧拉公式将$\sin,\cos$替换：

$$\cos t=\frac{e^{i t}+e^{-i t}}{2}, \quad \sin t=\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2 i}$$

因此

$$\cos (2 \pi n t)=\frac{e^{2 \pi i n t}+e^{-2 \pi i n t}}{2}, \quad \sin (2 \pi n t)=\frac{e^{2 \pi i n t}-e^{-2 \pi i n t}}{2 i}$$

带入(1)得到

$$\begin{aligned} \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left(a_{n} \cos (2 \pi n t)+b_{n} \sin (2 \pi n t)\right) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N} \left(a_{n} \frac{e^{2 \pi i n t}+e^{-2 \pi i n t}}{2}+b_{n} \frac{e^{2 \pi i n t}-e^{-2 \pi i n t}}{2 i}\right) \\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N} \left(\frac {a_n} 2+\frac{b_n}{2i}\right)e^{2 \pi i n t} +\sum_{n=1}^{N}\left(\frac {a_n} 2-\frac{b_n}{2i}\right)e^{-2 \pi i n t}\\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N} \left(\frac {a_n} 2+\frac{b_n}{2i}\right)e^{2 \pi i n t} +\sum_{n=-N}^{-1}\left(\frac {a_{-n}} 2-\frac{b_{-n}}{2i}\right)e^{2 \pi i n t}\\ &\triangleq \sum_{n=-N}^{N} c_{n} e^{2 \pi i n t} \end{aligned}$$

其中

$$c_n=\begin{cases} \frac{a_0} 2 & n=0\\ \frac {a_n} 2+\frac{b_n}{2i} & n >0 \\ \frac {a_{-n}} 2-\frac{b_{-n}}{2i} & n < 0 \end{cases}$$

当$n=0$时，注意$a_0$为实数，那么

$$\begin{aligned} c_{-n} &=\frac{a_0} 2\\ &=c_n \\ &=\overline {c_n} \end{aligned}$$

当$n>0$时，因为$-n <0$，所以

$$\begin{aligned} c_{-n} &=\frac {a_{n}} 2-\frac{b_{n}}{2i}\\ &=\overline {\frac {a_{n}} 2+\frac{b_{n}}{2i}}\\ &=\overline {c_n} \end{aligned}$$

当$n<0$时，因为$-n >0$，所以

$$\begin{aligned} c_{-n} &=\frac {a_{-n}} 2+\frac{b_{-n}}{2i}\\ &=\overline {\frac {a_{-n}} 2-\frac{b_{-n}}{2i}}\\ &=\overline {c_n} \end{aligned}$$

所以无论何时，总有

$$c_{-n}=\overline{c_{n}}$$

求解系数

如果周期为$1$的函数$f(t)$能表示为上述傅里叶序列的形式，即

$$f(t)= \sum_{n=-N}^{N} c_{n} e^{2 \pi i n t}$$

一个很自然的任务是求出系数$c_k$，方法如下：

$$\begin{aligned} c_k e^{2\pi ik t} &= f(t)- \sum_{n=-N,n\neq k}^{N} c_{n} e^{2 \pi i n t}\\ c_k &= e^{-2 \pi i k t} f(t)-\sum_{n=-N, n \neq k}^{N} c_{n} e^{2 \pi i(n-k) t} \end{aligned}$$

注意到如果$n-k\neq 0$，我们有

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} e^{2 \pi i(n-k) t} d t &=\frac{1}{2 \pi i(n-k)} e^{2 \pi i(n-k) t} \Big|_{t=0}^{t=1} \\ &=\frac{1}{2 \pi i(n-k)}\left(e^{2 \pi i(n-k)}-e^{0}\right)\\ &=\frac{1}{2 \pi i(n-k)}(1-1)\\ &=0 \end{aligned}$$

所以

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} c_k dt &= c_k\\ &=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i k t} f(t) dt-\sum_{n=-N, n \neq k}^{N} \int_{0}^{1}c_{n} e^{2 \pi i(n-k) t} dt\\ &=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i k t} f(t) dt \end{aligned}$$

即

$$c_{k}=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i k t} f(t) d t$$

如果$f(t)$为实数，那么

$$\begin{aligned} \overline{c_{n}} &=\left(\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i n t} f(t) d t\right)\\ &=\int_{0}^{1} \overline{e^{-2 \pi i n t}} \overline{f(t)} d t \\ &=\int_{0}^{1} e^{2 \pi i n t} f(t) d t & f(t)是实数 \\ &=c_{-n} & c_n的定义 \end{aligned}$$

所以从该计算式也能推出之前的结论。

这里求出的$c_n$被称为$f(t)$的傅里叶系数，后续也用如下记号表示傅里叶系数：

$$\hat{f}(n)=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i n t} f(t) d t$$

取$n=0$，得到

$$\hat{f}(0)=\int_{0}^{1} f(t) d t$$

由于$f(t)$的周期为$1$，所以任意长度为$1$的区间都能计算$f(n)$，这是因为：

$$\begin{aligned} \frac{d}{d a}\left(\int_{a}^{a+1} e^{-2 \pi i n t} f(t) d t\right) &=e^{-2 \pi i n(a+1)} f(a+1)-e^{-2 \pi i n a} f(a) \\ &=e^{-2 \pi i n a} e^{-2 \pi i n} f(a+1)-e^{-2 \pi i n a} f(a) \\ &=e^{-2 \pi i n a} f(a)-e^{-2 \pi i n a} f(a) & e^{-2 \pi i n}=1 ,f(a+1)=f(a) \\ &=0 \end{aligned}$$

所以

$$\int_{a}^{a+1} e^{-2 \pi i n t} f(t) d t$$

和$a$无关，特别的，我们有

$$\int_{a}^{a+1} e^{-2 \pi i n t} f(t) d t=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i n t} f(t) d t=\hat{f}(n)$$

一个常见的取法是取$a=-\frac 1 2 $（区间对称）：

$$\hat{f}(n)=\int_{-1 / 2}^{1 / 2} e^{-2 \pi i n t} f(t) d t$$

备注：注意上述结论都是建立在周期为$1$的函数$f(t)$能表示

$$f(t)= \sum_{n=-N}^{N} c_{n} e^{2 \pi i n t}$$

的前提下的，下一讲将讨论在哪些条件下该等式成立。