EE261 Lecture 1 and Lecture 2

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最近开始学习EE261——The Fourier Transform and its Applications,课程详细介绍了傅里叶变化及其应用。

这次回顾第一讲和第二讲,主要内容为傅里叶变化以及傅里叶序列。

内容回顾

傅里叶变化的起源来自于周期性现象的研究,简单来说,周期性现象可以简单分为时间周期性以及空间周期性。

周期函数的定义

我们称函数$f(t)$的周期为$T>0$,如果对所有$t$,

显然周期的整数倍仍然为周期,即

为了讨论方便,假设函数的周期为$1$(很容易拓展到一般情形)。

傅里叶序列

课程对于傅里叶分析的讨论是从傅里叶序列开始,首先考虑最简单的情形:

显然这种情形不够一般化,增加常数项以及$\cos $项,得到:

(备注:$a_i, b_i$均为实数)

为了代数处理方便,我们利用欧拉公式将$\sin,\cos$替换:

因此

带入(1)得到

其中

所以当$n=0$时,注意$a_0$为实数,那么

当$n>0$时,因为$-n <0$,所以

当$n<0$时,因为$-n>0​$,所以

所以无论何时,总有

求解系数

如果周期为$1​$的函数$f(t)​$能表示为上述傅里叶序列的形式,即

一个很自然的任务是求出系数$c_k$,方法如下:

注意到如果$n-k\neq 0​$,我们有

所以

如果$f(t)$为实数,那么

所以从该计算式也能推出之前的结论。

这里求出的$c_n$被称为$f(t)$的傅里叶系数,后续也用如下记号表示傅里叶系数:

取$n=0​$,得到

由于$f(t)$的周期为$1$,所以任意长度为$1$的区间都能计算$f(n)$,这是因为:

所以

和$a​$无关,特别的,我们有

一个常见的取法是取$a=-\frac 1 2 $(区间对称):

备注:注意上述结论都是建立在周期为$1$的函数$f(t)$能表示

的前提下的,下一讲将讨论在哪些条件下该等式成立。

本文标题:EE261 Lecture 1 and Lecture 2

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年06月04日 - 20:15:00

最后更新:2019年06月04日 - 20:28:34

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