18.065 Lecture 1

课程主页:https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-065-matrix-methods-in-data-analysis-signal-processing-and-machine-learning-spring-2018/index.htm

之前在Gilbert Strang教授的主页上注意到新课Matrix Methods in Data Analysis, Signal Processing, and Machine Learning,上周终于上线了,最近计划暑假前把这门课刷完,记录一些笔记和习题解析。

这一讲的主题是The Column Space of $A$ Contains All Vectors $Ax$。

例1

首先回顾$Ax$的解释,其中$A$是矩阵,$x$是向量,考虑如下例子:

一种理解为内积的理解,即

另一种理解为列向量的线性组合,即

注意$A$的秩为$2$,所以$Ax$表示平面。

对于一般的情形,我们有

例2

再来看一个例子:

显然

所以

例3

考虑如下例子:

其中$C$的含义为column,由为$C$的列的基向量;$R$的含义是row,表示基向量组对应的系数,特别的,我们有

实际上$R$也为$A$的行的基向量,所以该分解说明了$A$的行秩等于列秩。

对$AB$的理解

假设$A\in \mathbb R^{m\times n}, B\in \mathbb R^{n\times p}$,对于矩阵乘法$AB$,有两种理解,第一种理解为$A$的行向量和$B$的列向量做内积:

这种方式的计算量为

另一种理解为$A$的列向量和$B$的行向量相乘:

这种方式的计算量为

可以看到这两种方式的计算量相同。

习题

1

考虑如下例子

那么

向量形式为

其中

4

不难看出可以取

其中

注意到

所以$Ax=0$只有两个线性无关的解,因此老师没有让我们找第三个线性无关的向量$z$,使得$Az=0$。

9

设矩阵为$A$,因为$A$的列空间是$\mathbb R^3$,所以$m=3$,并且

所以显然有

18

由$A=CR$可得$\left[ \begin{array}{ll}{0} & {A} \ {0} & {A}\end{array}\right]$对应的$C’=\left[ \begin{matrix} {C} \ {C}\end{matrix}\right]$,所以

本文标题:18.065 Lecture 1

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年05月27日 - 16:35:00

最后更新:2019年11月16日 - 22:28:10

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/05/27/18.065 Lecture 1/

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