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这次回顾EE263作业3。
2.17
(a)因为
所以
因此
(b)因为
所以
因此
(c)由$A^T=A$和上一题可得
3.13
对于行满秩矩阵$A\in \mathbb R^{m\times n}$,如果$A^T $的$QR$分解为
其中$R$可逆,取
那么
(a)此时只要计算
的右逆$B_1$,然后对$B_1$的第二行插入$0$即可,注意$A_1$依然行满秩,所以仍然存在右逆,编写程序后得到:
1 | import numpy as np |
1 | [[9.72785220e-18 0.00000000e+00 5.00000000e-01] |
不考虑浮点数产生的误差,我们有
(b)不可能,原因如下:
由条件可得
但是因为
所以
这就产生了矛盾。
(c)不可能,如果$B$的第三列为$0$,那么$AB$的第三列为$0$,与条件矛盾。
(d)记
注意到
所以
注意到此时有
所以只要考虑
求出满足条件的$B$,使得
即可。又因为$A_1$的$2,3$列为$0$,所以只要考虑
求$B_2$,使得
求解该方程组得到
最终的结果为
最后验证结果:
1 | #### (d) |
1 | [[1. 0. 0.] |
(e)此时
那么
所以
这就产生了矛盾。
(f)此时
那么
所以可以取
验证结果:
1 | #### (f) |
1 | [[1 0 0] |
4.1
将$U$扩张为正交矩阵:
那么
注意到
因此
所以
当且仅当
时等号成立,由$x$的任意性可得必然有$k=n$。
4.2
(a)
(b)
(c)由正交矩阵的特点可得
所以不妨设
又因为
所以
所以
如果
那么
此时为旋转矩阵。
如果
那么
此时为反射矩阵。
4.3
(a)
(b)
(c)
(d)$\forall z_0 =Pz \in \mathcal{R}(P)$,那么
当且仅当$z=x$时等号成立。
5.1
因为
所以
由上一题可知$P$为对称矩阵,因此
6.9
1 | A = zeros(N, n_pixels^2); |
补充题
1
1 | N = 40; |
输出为
1 | A1 = |
2
1 | N = 1000; |
1 | ans = |