CS229 老版作业3

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参考资料:https://github.com/zyxue/stanford-cs229

这部分回顾老版作业3。

1. Uniform convergence and Model Selection

(a)由Hoeffding不等式,我们可得对每个$\hat h_i $,

可得

因此至少有$1-\frac \delta 2$的概率,对每个$\hat h_i$,我们有

(b)由(a)可得,$\forall i $

由不等式(2)可得,$\forall i $

所以,$\forall i $

因此

(c)由(b)可知,

记上述事件为$A$,记如下事件为$B$

因为

所以

注意$AB$即为如下事件

因此

发生的概率大于等于$1-\delta $

2. VC Dimension

后面都用$d$表示VC维。

$h(x)=1\{a<x\}$的VC维是$1$,首先存在$1$个点可以shatter,其次对于任意两个点$x_1<x_2$,标签$(1, 0)$无法表出,所以

$h(x)=1\{a<x<b\}$的VC维是$2$,首先存在$2$个点可以shatter(作图即可),其次对于任意三个点$x_1<x_2<x_3$,标签$(1, 0, 1)$无法表出,所以

$h(x)=1\{a\sin x >0\}$的VC维是$1$,首先存在$1$个点可以shatter(作图即可),其次对于任意两个点$x_1 <x_2$,我们有

所以如果

那么$(1, 0), (0,1)$的标签无法表出。如果

那么$(1,1)$的标签无法表出。所以

$h(x)=1\{\sin(x+a) >0\}$的VC维是$2$,首先$0, \frac \pi 2$可以被shatter,其次由于$\sin $函数的周期为$2\pi$,我们可以假设所有的点属于$[0,2\pi)$。在继续讨论之前,首先将模型转换,将$[0, 2\pi)$上的点映射到单位圆周上,$a$对应过原点的一条直线,直线一侧的点为$1$,另一侧为$0$。

现在假设存在三个点$0\le x_1 < x_2 < x_3<2\pi $可以被shatter,那么标签$(1, 1,1)$表出,由之前讨论可知这表示$x_1,x_2,x_3$在直线的同侧,那么可以发现$(1, 0, 1)$必然无法表出,这是因为$x_1, x_3$在直线的同侧,介于两点之间的点$x_2$必然属于同侧,所以无法表出$(1,0,1)$

3. $ℓ_1$ regularization for least squares

(a)首先对$J(\theta)$进行化简:

所以

令上式为$0$可得

如果$s_i =1$,那么$\theta_i \ge 0$,所以我们有

如果$s_i= -1$,那么$\theta_i <0$,所以我们有

(b)代码实现的过程中要分别对$s_i =\pm1$讨论,根据选择产生较小$J(\theta )$对应的$\theta_i $。

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# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Mar 9 14:27:42 2019

@author: qinzhen
"""

import numpy as np

X = np.genfromtxt("x.dat")
y = np.genfromtxt("y.dat")
theta_true = np.genfromtxt("theta.dat")

def l1l2(X, y, Lambda):
#数据维度
n, d = X.shape
#设置阈值
D = 1e-5
#设置初始值
theta = np.zeros(d)
#记录上一轮迭代的theta
theta_pre = np.copy(theta)
while True:
#坐标下降
for i in range(d):
#第i列
Xi = X[:, i]
#theta第i个元素为0
theta[i] = 0
#计算
temp1 = X.dot(theta) - y
temp2 = np.max([- (temp1.T.dot(Xi) + Lambda) / (Xi.T.dot(Xi)), 0])
temp3 = np.min([- (temp1.T.dot(Xi) - Lambda) / (Xi.T.dot(Xi)), 0])
#情形1
theta[i] = temp2
loss1 = 1 / 2 * np.sum((X.dot(theta) - y) ** 2) + Lambda * np.sum(np.abs(theta))
#情形2
theta[i] = temp3
loss2 = 1 / 2 * np.sum((X.dot(theta) - y) ** 2) + Lambda * np.sum(np.abs(theta))

#根据较小的loss对应的值更新
if(loss1 < loss2):
theta[i] = temp2
else:
theta[i] = temp3

#计算误差
delta = np.linalg.norm(theta - theta_pre)
if delta < D:
break

theta_pre = np.copy(theta)

return theta

(b)对Lambda = 1运行,得到如下结果:

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theta = l1l2(X, y, 1)
print(theta)
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[ 0.49875676  0.65610562 -0.79057895 -0.6556427  -0.89191611  0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
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0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. ]

可以看到最终的$\theta$是稀疏的,所以可以用$l_1$正则化进行特征选择,保留系数不为$0$的特征。

4. K-Means Clustering

这里使用向量化的方法计算每个点距离聚类中心的距离,提高计算效率,介绍如下

假设

其中$x^{(i)} ,y^{(i)} \in \mathbb R^d$,现在的问题是如何高效计算矩阵$D \in \mathbb R^{m\times n}$,其中

首先对$D_{i,j}$进行处理

那么

利用numpy的广播机制上式可以简写如下:

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#计算距离矩阵
d1 = np.sum(X ** 2, axis=1).reshape(-1, 1)
d2 = np.sum(centroids ** 2, axis=1).reshape(1, -1)

dist = d1 + d2 - 2 * X.dot(centroids.T)

全部代码如下:

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# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Mar 9 15:41:53 2019

@author: qinzhen
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def draw_clusters(X, clusters, centroids):
#颜色列表
c = ["b", "g", "r", "c", "m", "y"]
#聚类数量
d = np.max(clusters)
#画出每种聚类
for i in range(d+1):
plt.scatter(X[clusters==i][:, 0], X[clusters==i][:, 1], c=c[i], s=1)

#画出中心
plt.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], c="black")
plt.show()

def k_means(X, k, plot=0):
#数据维度
n, d = X.shape
#聚类标签
clusters = np.zeros(n, dtype=int)
#初始中心点
index = np.random.randint(0, n, k)
#centroids = np.random.rand(k, d)
centroids = X[index]
#记录上一轮迭代的聚类中心
centroids_pre = np.copy(centroids)
#设置阈值
D = 1e-5

while True:
#计算距离矩阵
d1 = np.sum(X ** 2, axis=1).reshape(-1, 1)
d2 = np.sum(centroids ** 2, axis=1).reshape(1, -1)
dist = d1 + d2 - 2 * X.dot(centroids.T)

#STEP1:找到最近的中心
clusters = np.argmin(dist, axis=1)
#STEP2:重新计算中心
for i in range(k):
centroids[i] = np.mean(X[clusters==i], axis=0)

#计算误差
delta = np.linalg.norm(centroids - centroids_pre)

#判断是否作图
if plot:
draw_clusters(X, clusters, centroids)

if delta < D:
break

centroids_pre = np.copy(centroids)

X = np.genfromtxt("X.dat")

k_means(X, 3, plot=1)

5. The Generalized EM algorithm

(a)

第一个不等号成立是因为如下不等式对任意$Q_i$和$\theta$都成立

第二个不等号成立是因为梯度上升,等号成立是由$\theta^{(t)}$的定义。

(b)利用定义求梯度即可

注意到GEM中的梯度为

注意我们选择

所以GEM中的梯度为

所以这两者等价。

本文标题:CS229 老版作业3

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年03月14日 - 18:45:00

最后更新:2019年10月12日 - 17:06:58

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/03/14/CS229 老版作业3/

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