台大实分析单元 22 Radon测度之微分

然后介绍Radon导数的性质。

$\mu$是定义在$\Omega\subset \mathbb R^n$上的Radon测度($\Omega$为开集),定义

如果$\underline D \mu(x)= \overline D \mu(x)$,那么称$\mu$在$x$处可微,用$\frac {d\mu}{d \lambda^n}(x)$表示共同值,这个值被称为$\mu$在$x$处的导数。

Lemma 2

证明:不妨假设$\alpha >0$。对于$l\in \mathbb N$,令

选择开集$G$满足

选择$\epsilon >0$使得

然后考虑集合

有$\overline D \mu(x)$的定义可知(上确界的定义),对于$x\in S_l,\epsilon_0>0$,必然存在$V\in \mathcal V$,使得

所以$\mathcal V$是$S_l$的Vitali覆盖。由定理2可知,存在$\mathcal V$中球序列$\{B_j\}$,使得

那么

这里要利用如下结论,该结论在下一讲会证明,Radon测度$\mu$满足

所以对之前等式右边取关于$G$取下确界可得

由单调收敛定理可得

这说明

令$\epsilon \to 0$可得

Collary

证明:注意到

上式成立的原因是$\Omega$为开集,所以$\Omega^C$为闭集,从而对于$x\in \Omega$,$\text{dist}(x, \Omega^C)>0$,所以上式成立。注意到$\{
x\in \Omega:\text{dist}(x, \Omega^C) \ge \frac 1 l \}$和$\{x\in \mathbb R^n,|x|\le l\}$为有界闭集,所以$\Omega_l$为有界闭集,从而$\Omega_l$为$\Omega$上紧集,也就是说,$\Omega$为可数紧集的并,所以只要说明在$\Omega$上的任意紧集

成立即可。令$K$为满足条件的紧集,令

引理2推出对于任意$\alpha >0$,

因此如果$\lambda^n(S)>0$,那么令$\alpha \to \infty$可得

注意到$S\subset K$,所以

这就与$\mu$是Radon测度相矛盾。因此

Lemma 3

证明:假设$\lambda^n (S)<\infty$。对于$l,k \in \mathbb N$,选择开集$S\subset G_k \subset \Omega$,使得

由勒贝格测度的定义可得,上述$G_k$存在。考虑

因为$\mathcal V$是一个Vitali覆盖,由定理2可知,存在$\mathcal V$中球序列$\{B_j\}$,使得

令$N_{l,k}= S\setminus \bigcup_j B_j$,那么$N_{l,k}$是$S$中零集,这推出

是$S$中零集。注意到

这说明对任意$l$

令$l\to \infty$可得

如果$\lambda^n(S)=\infty$,那么对任意$l\in \mathbb N$,取

在$S_l$上上述结论成立, 从而

令$l\to \infty$可得

本文标题:台大实分析单元 22 Radon测度之微分

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年02月04日 - 13:30:00

最后更新:2019年02月13日 - 17:04:21

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