台大实分析单元 21 Riemann 与 Lebesgue 积分(2)

这一部分继续介绍Riemann积分和Lebesgue积分的关系,然后介绍Radon测度的导数。

Theorem 1

证明:假设$f$在$I$上黎曼可积,那么

所以

因为$\bar f \ge \underline f$,所以在$I$上

即在$I$上

因此$f$在$I$上几乎处处连续。

反之,如果$f$在$I$上几乎处处连续,那么在$I$上

因此

从而$f$在$I$上黎曼可积。

Theorem 2

证明:因为$f$黎曼可积,所以

之前已经证明$\bar f$可测,所以$f$几乎处处可测,从而$f$可积,且

下一章将讨论Radon测度的微分。

Unit 6 Differentiation of Radon measures on $\mathbb R^n$

介绍微分之前要做一些准备工作,首先记

接着介绍如下Procedure(S),该Procedure是为了给覆盖定理做铺垫。

Procedure(S)

令$\mathcal C$为$\mathbb R^n$中球的集合,如果

那么$\mathcal C$被称为可容许(admissible)的。

假设$\mathcal C$是一个$\mathbb R^n$中球的集合并且是可容许的,我们将按照如下方式选择球序列$\{B_j\}$。令

然后在$\mathcal C$中选择$B_1$使得

假设我们在$\mathcal C$中已经选择了互不相交的$B_1,…,B_m$,如果对每个$B\in \mathcal C$,我们有

那么停止Procedure,否则,令

然后从$\mathcal C$中选择$B_{m+1}$,满足

Procedure或者在有限步后停止,此时$\{B_j\}$为有限集;或者会一直进行下去,此时$\{B_j\} $为无限可数集。最后得到的序列$\{B_j\}$互不相交。从$C$中选择互不相交的球序列的方法被称为Procedure(S)。

Lemma 1

证明:先假设$\{B_j\}$是有限集,记为

$\forall B\in \mathcal C$,那么

令$j_0$为满足$B\bigcap B_j \neq \varnothing$的最小的$j,1\le j\le m $。如果$j_0 =1$,那么

第一个不等号是因为

第二个不等号是因为

如果$j_0\ge 2$,那么

第一个不等号是因为

第二个不等号是因为

所以无论那种情形,我们均有

画图后不难发现,

从而

现在假设$\{B_j\}$是无限集,并且$\inf_{j }\delta B_j=0$。$\forall B \in \mathcal C,\delta B>0$,那么存在任意大的$j_0$,使得

此时

这是因为如果上式不成立,则有

这就与条件矛盾。

所以由第一部分的讨论可知

Theorem 1(Elementary covering theorem)

证明:令$\{B_j\}$是根据$\text{Procedure(S)}$从$\mathcal C$中选择的球序列。如果$\{B_j\}$无限且$\inf_j B_j \ge r_0 >0$,那么

上述结论显然成立。

否则,由引理1可知

因此

下面介绍Vitali覆盖的定义。

Vitali Cover

Theorem 2(Vitali)

证明:选择开集$G\supset E$,使得$\lambda^n (G)<\infty$,令

由$\mathcal V$的定义和$\mathcal C$的构造可知,$\mathcal C$是$ E$的可容许Vitali覆盖。令$\{B_j\}$是根据$\text{Procedure(S)}$从$\mathcal C$中选择的球序列。

如果$\{B_j\}$有限,即

那么对每个$V\in \mathcal C$,我们有

对于$x\in E$以及$\epsilon >0$,选择$V\in \mathcal C$使得

那么

其中第二个不等号是因为$x\in V$。注意到$\bigcup_{j=1}^m B_j$为闭集,结合$\epsilon $的任意性可知

又由$x$的任意性可知

这说明

如果$\{B_j\}$无限,注意到

这说明对任意$l\in \mathbb N$

注意到$\{B_j\}_{j\ge l+1}$是$\text{Procedure(S)}$从如下可容许集合选择的球序列

因为

所以根据引理1可得

因此

第一个不等号是因为$\mathcal C^{(l)}$是$E\setminus \bigcup_{j=1}^l B_j$的Vitali覆盖。从而

令$l\to \infty$可得

本文标题:台大实分析单元 21 Riemann 与 Lebesgue 积分(2)

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年02月04日 - 13:28:00

最后更新:2019年02月12日 - 21:10:39

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