台大实分析单元 20 Riemann 与 Lebesgue 积分

这一部分介绍了Riemann积分和Lebesgue积分的关系。

Appendix B Riemann and Lebesgue integral

这一部分讨论黎曼积分和勒贝格积分的关系,首先需要定义任意度量空间上的黎曼积分。

令$f$是定义在度量空间$(M,\rho)$上的有界函数。定义

那么

因为随着$\delta$减小,满足条件的$\rho(y,x)<\delta$减少,所以$ \inf_{\rho(y,x)<\delta }f(y)$不减,$ \sup_{\rho(y,x)<\delta }f(y)$不增。

关于$\underline f,\overline f$有如下命题:

Proposition 1

证明:显然有

所以只要证明$\{\underline f >\alpha\}$是开集即可。

取$x_0 \in \{\underline f >\alpha\}$,那么由定义可知,存在某个$\delta>0$,使得

假设$\rho(x,x_0)<\frac \delta 2$,那么如果$\rho(y,x)<\frac \delta 2$,我们有$\rho(x,x_0)<\delta$,因此

这说明

由$x$的任意性,上式说明

即$x_0$是$\{\underline f >\alpha\}$的内点,从而$\{\underline f >\alpha\}$是开集。

不难发现如下事实

Observation

证明:注意到

从而上极限和下极限相等,因此我们有

从而$f$连续。

接下来定义定向有限闭区间$I$上的黎曼积分,即

后面将定向有限闭区间简单记录为区间。

假设$f$是定义在$I$上的有界实函数,$I$的一划分(partion)$\mathcal P$是一个有限区间族$\{I_j\}_{j=1}^k$,其中$I_1,…,I_k$不重叠且$\bigcup_{j=1}^k I_j = I$。对$I$上区间$J$,令

对于一个之前定义的划分$\mathcal P$,令

不难看出显然有

事实上,我们有如下更强的结论:

Claim

上述命题由如下显然的事实得到:如果$\mathcal P$的每个区间都是$\mathcal P’$的某些区间的并,那么

在这里,将$\mathcal P,\mathcal Q$合并为一个划分,应用上述事实即可。

由上述Claim,我们有

那么

其中

如果$\overline \int_I f = \underline \int_I f$,那么这个共同值被称为$f$在$I$上的定积分,用如下方式表示

在这种情形下,$f$被称为在$I$上黎曼可积。

我们不难发现如下结论

Observation

这个证明在数学分析中已经证明过,这里从略。

下面一个引理给出了黎曼积分和勒贝格积分的关系。

Basic Lemma

注意由Proposition 1,我们知道$令\underline f$和$\overline f$勒贝格可积,所以上述定义正确,然后记

接下来开始证明引理,这里只证明第一个等式。

证明:由$\overline \int_I f$的定义,我们可以选择$I$的划分序列$\{\mathcal P_k\}$,使得

注意到更细的划分为使得$\underline S(f, \mathcal P_k)$增加,我们不妨假设

接着,我们令

其中$\dot I_j$表示区间的内部,即不包括边界处。

我们有如下Claim

Claim

其中$\partial I_j^{(k)}$表示边界处,所以$\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcup_{j=1}^{n_k}\partial I_j^{(k)}$为零集(即测度为$0$)

证明:对每个$\delta >0$,如果$k$充分大,我们有

这是因为$x$必然属于某个$I_j$,而$\lim_{k\to\infty}||\mathcal P_k||=0$,所以$k$充分大时,$|y-x|<\delta$必然会包含$I_j​$。上式可以推出

从而

相反的,对一个固定的$k$,如果$\delta$充分小,我们有

从而

结合两个方向的不等式可得

所以

因为$f$有界,所以存在$M>0$,使得对任意$k$,$|f_k|\le M$,然后我们利用LDCT(勒贝格控制收敛定理)可得

其中中间一个等号是由$f_k$的定义得到的。

本文标题:台大实分析单元 20 Riemann 与 Lebesgue 积分

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月29日 - 22:04:00

最后更新:2019年02月12日 - 21:11:54

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