台大实分析单元 20 Riemann 与 Lebesgue 积分

这一部分介绍了Riemann积分和Lebesgue积分的关系。

Appendix B Riemann and Lebesgue integral

这一部分讨论黎曼积分和勒贝格积分的关系，首先需要定义任意度量空间上的黎曼积分。

令$f$是定义在度量空间$(M,\rho)$上的有界函数。定义

$$\underline f (x)=\lim_{\delta\to 0^+} \inf_{\rho(y,x)<\delta }f(y)\\ \overline f (x)=\lim_{\delta\to 0^+} \sup_{\rho(y,x)<\delta }f(y)$$

那么

$$\underline f (x)\le f(x)\le \overline f(x), x\in M$$

因为随着$\delta$减小，满足条件的$\rho(y,x)<\delta$减少，所以$ \inf_{\rho(y,x)<\delta }f(y)$不减，$ \sup_{\rho(y,x)<\delta }f(y)$不增。

关于$\underline f,\overline f$有如下命题：

Proposition 1

$$对任意\alpha \in \mathbb R，\{\underline f >\alpha\}和\{\overline f >\alpha\}是开集$$

证明：显然有

$$\overline f = -\underline {(-f)}$$

所以只要证明$\{\underline f >\alpha\}$是开集即可。

取$x_0 \in \{\underline f >\alpha\}$，那么由定义可知，存在某个$\delta>0$，使得

$$\inf_{\rho(y,x_0)<\delta }f(y) > \alpha$$

假设$\rho(x,x_0)<\frac \delta 2$，那么如果$\rho(y,x)<\frac \delta 2$，我们有$\rho(x,x_0)<\delta$，因此

$$\inf_{\rho(y,x)<\frac \delta 2}f(y) \ge \inf_{\rho(y,x_0)<\delta }f(y) > \alpha$$

这说明

$$\underline f(x) >\alpha$$

由$x$的任意性，上式说明

$$B_{\frac \delta 2} (x_0)\subset \{ \underline f> \alpha \}$$

即$x_0$是$\{\underline f >\alpha\}$的内点，从而$\{\underline f >\alpha\}$是开集。

不难发现如下事实

Observation

$$如果\underline f (x)=f(x)= \overline f(x),那么f在M上连续$$

证明：注意到

$$\underline f (x)=\lim_{\delta\to 0^+} \inf_{\rho(y,x)<\delta }f(y)= \overline f (x)=\lim_{\delta\to 0^+} \sup_{\rho(y,x)<\delta }f(y)=f(x)$$

从而上极限和下极限相等，因此我们有

$$\lim_{\delta\to 0^+} \lim_{\rho(y,x)<\delta }f(y) =f(x)$$

从而$f$连续。

接下来定义定向有限闭区间$I$上的黎曼积分，即

$$I\subset \mathbb R^n，I=[a_1,b_1]\times ...\times [a_n,b_n]\\ -\infty <a_j < b_j <\infty, j=1,...,n$$

后面将定向有限闭区间简单记录为区间。

假设$f$是定义在$I$上的有界实函数，$I$的一划分(partion)$\mathcal P$是一个有限区间族$\{I_j\}_{j=1}^k$，其中$I_1,…,I_k$不重叠且$\bigcup_{j=1}^k I_j = I$。对$I$上区间$J$，令

$$\underline {f}_ J =\inf _{x\in J} f(x), \overline f _J =\sup _{x\in J} f(x)$$

对于一个之前定义的划分$\mathcal P$，令

$$\underline S(f, \mathcal P) = \sum_{j=1}^k \underline {f}_{I_j} |I_j| \\ \overline S(f, \mathcal P) = \sum_{j=1}^k \overline {f}_{I_j} |I_j|$$

不难看出显然有

$$\underline S(f, \mathcal P) \le \overline S(f, \mathcal P)$$

事实上，我们有如下更强的结论：

Claim

$$\underline S(f, \mathcal Q) \le \overline S(f, \mathcal P)，对I的任意划分 \mathcal P,\mathcal Q$$

上述命题由如下显然的事实得到：如果$\mathcal P$的每个区间都是$\mathcal P’$的某些区间的并，那么

$$\overline S(f, \mathcal P') \le \overline S(f, \mathcal P),\\ \underline S(f, \mathcal P') \ge \underline S(f, \mathcal P)$$

在这里，将$\mathcal P,\mathcal Q$合并为一个划分，应用上述事实即可。

由上述Claim，我们有

$$\sup_{\mathcal Q}\underline S(f, \mathcal Q) \le \overline S(f, \mathcal P) \\ \sup_{\mathcal Q}\underline S(f, \mathcal Q) \le \inf_{\mathcal P}\overline S(f, \mathcal P)$$

记

$$\underline \int_I f = \sup_{\mathcal Q}\underline S(f, \mathcal Q) \\ \overline \int_I f = \inf_{\mathcal P}\overline S(f, \mathcal P)$$

那么

$$\overline \int_I f \ge \underline \int_I f$$

其中

$$\overline \int_I f被称为f的 \text{ Darboux}上积分，\\ \underline \int_I f被称为f的 \text{ Darboux}下积分$$

如果$\overline \int_I f = \underline \int_I f$，那么这个共同值被称为$f$在$I$上的定积分，用如下方式表示

$$\int _ I f(x) dx = \int_I f(x_1,...,x_n) dx_1...dx_n$$

在这种情形下，$f$被称为在$I$上黎曼可积。

我们不难发现如下结论

Observation

$$I上有界函数f是黎曼可积的当且仅当对任意\epsilon >0，存在I上的划分\mathcal P，使得\\ \overline S(f, \mathcal P) -\underline S(f, \mathcal P) < \epsilon$$

这个证明在数学分析中已经证明过，这里从略。

下面一个引理给出了黎曼积分和勒贝格积分的关系。

Basic Lemma

$$令\underline f和\overline f是之前定义的函数，那么\\ \underline \int_I f =\int_I \underline f d\lambda^n , \overline \int_I f =\int_I \overline f d\lambda^n$$

注意由Proposition 1，我们知道$令\underline f$和$\overline f$勒贝格可积，所以上述定义正确，然后记

$$||\mathcal P || = \max \{\text{diam } I_j ,j=1,...,n\}$$

接下来开始证明引理，这里只证明第一个等式。

证明：由$\overline \int_I f$的定义，我们可以选择$I$的划分序列$\{\mathcal P_k\}$，使得

$$\lim_{k\to\infty} \underline S(f, \mathcal P_k) = \overline \int_I f$$

注意到更细的划分为使得$\underline S(f, \mathcal P_k)$增加，我们不妨假设

$$\lim_{k\to\infty}||\mathcal P_k||=0$$

接着，我们令

$$f_k(x)=\begin{cases} \underline {f}_{I_j}, & x\in \dot I_j ,I_j \in \mathcal P_k\\ 0, & 其他 \end{cases}$$

其中$\dot I_j$表示区间的内部，即不包括边界处。

我们有如下Claim

Claim

$$如果x \in I\setminus \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcup_{j=1}^{n_k}\partial I_j^{(k)}，其中\mathcal P_k = \{ I_1^{(k)},...,I_{n_k}^{(k)}\}\\ 那么\lim_{k\to \infty} f_k(x)=\underline f(x)$$

其中$\partial I_j^{(k)}$表示边界处，所以$\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcup_{j=1}^{n_k}\partial I_j^{(k)}$为零集（即测度为$0$）

证明：对每个$\delta >0$，如果$k$充分大，我们有

$$\inf_{|y-x|<\delta} f(y)\le f_k (x)$$

这是因为$x$必然属于某个$I_j$，而$\lim_{k\to\infty}||\mathcal P_k||=0$，所以$k$充分大时，$|y-x|<\delta$必然会包含$I_j​$。上式可以推出

$$\inf_{|y-x|<\delta} f(y)\le \lim_{k\to\infty} \inf f_k (x)$$

从而

$$\lim_{\delta \to 0^+} \inf_{|y-x|<\delta} f(y)=\underline f(x)\le \lim_{k\to\infty} \inf f_k (x)$$

相反的，对一个固定的$k$，如果$\delta$充分小，我们有

$$\inf_{|y-x|<\delta} f(y)\ge f_k (x)$$

从而

$$\lim_{\delta \to 0^+} \inf_{|y-x|<\delta} f(y)= \underline f(x)\ge f_k (x) \\ \underline f(x)\ge \lim_{k\to\infty}\sup f_k (x)$$

结合两个方向的不等式可得

$$\underline f(x)\ge \lim_{k\to\infty}\sup f_k (x) \ge \lim_{k\to\infty} \inf f_k (x) \ge \underline f(x)$$

所以

$$f_k \to f (a.e)$$

因为$f$有界，所以存在$M>0$，使得对任意$k$，$|f_k|\le M$，然后我们利用LDCT（勒贝格控制收敛定理）可得

$$\int_I \underline f d\lambda^n = \lim_{k\to\infty}\int_I f_k d\lambda^n = \lim_{k\to\infty} \underline S(f, \mathcal P_k) = \overline \int_I f$$

其中中间一个等号是由$f_k$的定义得到的。