台大实分析单元 19 Caratheodory Measure 5

这一部分介绍了Lusin定理,补充了Tietze定理。

Theorem 5

首先回顾Theorem 5

这里老师用更简洁的方法重新证明了(ii),首先有如下Claim

[Claim]

证明:选择一个开球$B\supset A$满足$\text{dist}(A,B^C)\ge \delta>0$,由(i)可知,存在开集$G\supset B\setminus A$,使得$\lambda^n(G\setminus(B\setminus A))<\epsilon$,注意到

并且$A\bigcap B^C =\varnothing$,所以

令$F=G^C$,注意到$G\supset B\setminus A$,所以$F =G^C \subset ( B\setminus A)^C=B^C \bigcup A$,所以

下面说明$F\bigcap A$是闭集。

首先由$F=G^C$,$G$为开集可知,$F$为闭集。现在任取$\{x_k\}\subset F\bigcap A$,$\lim_{k\to \infty} x_k=x$,由$F$为闭集可知,$x\in F$,但是由于$\text{dist}(A,B^C)\ge \delta>0$,所以$x$不可能属于$B^C$,否则距离$x_k$的距离就会大于等于$\delta$,从而产生矛盾。因此$x\notin F\bigcap B^C$,从而$x\in F\bigcap A$,这就说明$F\bigcap A$是闭集。

又因为$A$有界,所以$K=F\bigcap A$为有界闭集,从而为紧集。最后我们计算$A\setminus K$

所以

接下来介绍著名的Lusin定理

Theorem 6(Lusin)

证明该定理之前需要如下引理

Lemma 4

证明:设$h=\sum_{j=1}^k \alpha_j I_{A_j}$,$A_j$互不相交,并且$\bigcup_{j=1}^k A_j=A$。由Theorem 5(ii)可得,对每个$j=1,…,k$,存在紧集$K_j\subset A_j$,使得$\lambda^n(A_j\setminus K_j)<\frac {\epsilon} k$。令$K=\bigcup_{j=1}^k K_j$,那么$K$也是紧集,$K\subset A$,并且

因为$A_j$互不相交,所以$K_j$互不相交,所以存在$\delta>0$,使得

现在任取$\{x_k\}\subset K,\lim_{k\to \infty} x_k =x$,不妨设$x\in K_j$。由上述事实可知,当$k$充分大时,$x_k \in K_j$,注意到

所以

从而$h$在$K$上连续。

接下来利用上述引理证明Theorem 6。

证明:给定$\epsilon >0$,存在定义在$A$上的简单函数序列$\{h_l\}$使得在$A$上$h_j\to f$。由第5讲的Egoroff定理可知,

由Theorem 5(ii)可知

所以

由引理4可知,对每个$h_l$,存在紧集$\hat K_l \subset A$使得

取$K_2=\bigcap_{j=1}^{\infty} \hat K_j$,那么$K_2$是$A$中紧集,并且

令$K= K_1\bigcap K_2$,那么

由一致收敛定理可得,

取$g= f_{|K}$即可满足条件。

以上就是第五章的内容,下面开始一些补充内容。

Appendix A (Tietze Theorem)

Lemma 1

证明:对于$S\subset M,s\neq \varnothing$,令$\rho(x, S)=\inf_{z\in S}\rho(x,z)$,由三角不等式可知

所以$\rho(x, S)$在$M$上连续。现在定义$f$为

因为

那么由$A,B$非空不交可知

因此$f$是定义在$M$上的连续函数,此时显然有

Collary

证明:设$f_0$为Lemma 1中得到的函数,令

即可

Theorem 1(Tietze)

证明:不妨假设$M\setminus C$为无限集,否则直接在$M\setminus C$上定义$f$为常数即可。然后在$M\setminus C$中选择$x_1,x_2,x_1\neq x_2$,令$g(x_1)=-r,g(x_2)=r$,不难看出新的$g(x)$也满足条件,所以我们不妨假设

现在令

所以$A,B$为闭集(由$g$连续)且$A\bigcap B =\varnothing$。由推论可知(取$\alpha=-\frac r 3,\beta =\frac r 3$),存在$M$上的函数$f_1$满足

当$x\in A$时,

当$x\in B$时,

当$x\notin A$且$x\notin B$时,

由连续函数的性质可知,

重复上述过程,用$g-f_1$代替$g$,$\frac {2r}3$代替$r$,我们可以得到$M$上连续函数$f_2$使得在$C$上

继续这个过程,我们得到$M$上的连续函数序列$\{f_n\}$,使得在$C$上

因为$f_n$被几何级数控制,所以由级数的收敛定理可得$\sum_{n=1}^{\infty} f_n$一致收敛。如果令$f=\sum_{n=1}^{\infty} f_n$,那么$f$在$M$上连续,对上述第二个式子令$n\to \infty$可得

所以在$C$上,$f=g$。最后考虑$|f|$的上确界:

但显然有

所以

本文标题:台大实分析单元 19 Caratheodory Measure 5

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月29日 - 22:02:00

最后更新:2019年02月12日 - 21:12:09

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/01/29/台大实分析单元 19 Caratheodory Measure 5/

许可协议: 署名-非商业性使用-禁止演绎 4.0 国际 转载请保留原文链接及作者。