高等概率论第十讲
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记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》。
本讲继续介绍条件期望的性质。
4.条件期望的性质
定理5.4.1
条件期望具有如下性质
(1)证明:首先
(2)证明:
如果
接下来将上述结论推广到非负简单,非负可测,再到一般的情形,从而完成证明。
(3)证明:因为
接着证明第二个等号。注意到
所以
定理5.4.2
(1)证明:利用
如果
取
关于
如果
考虑
令
(2)证明:因为下凸,所以
取
取期望可得
取
两边取关于
命题
证明:由截口的定义知
为了证明
上式
注意到
定理5.4.3
证明:
推论
证明见习题。
习题
习题1
(课本P193/7.4/2)
(1)证明:首先考虑
最后一步是由条件期望的定义。
由条件期望的线性性可知,
如果
如果
(2)证明:取
取
习题2
(课本P193/7.4/3)
(1)证明:
递推可得
(2)证明:
因为
因此
从而
习题3
(课本P193/7.4/5)
该题需增加如下条件
备注:该证明参考老师上课的讲解。
证明:计算截断期望
第二个等号成立需要拆开后的运算有意义,这里证明每一项都有限:
第三个等号用到了题目中的条件。
所以
令
习题4
证明:
而
所以
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