高等概率论第二讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲继续概率空间的内容以及介绍随机变量与概率分布。

2.概率测度

1.基本概念

设$\Omega$是样本空间,$\mathcal F$是其上的$\sigma$代数,则称$(\Omega,\mathcal F)$是可测空间。

定义:设$\mathbb P$是$\mathcal F$上的一个(集合)函数,若它满足

则称$\mathbb P$为$\mathcal F$上的一个概率测度,$\mathbb P(A)$称为$A$的概率,称$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$为概率空间。

2.基本性质

3.$\mathbb R^d$上的分布函数与$L-S$测度

1.测度扩张定理

定理1.3.1

该定理证明比较复杂,见课本60页。

2.$\mathbb R^d$上的分布函数与$L-S$测度

以$d=1$上为例,设$F$为$\mathbb R$上的(概率)分布函数,取

则$\mathscr S$为半代数,且$\sigma(\mathscr S)=\sigma(\text{开集})=\mathcal B$(Borel集)

定义:

则$\mathbb P$是$\mathscr S$上的概率测度,从而由测度扩张定理,$\mathbb P$可唯一地扩张成$\sigma(\mathscr S) = \mathcal B$上的概率测度,称之为由$F$决定的$L-S$测度(当$F(x)=x$时生成的就是勒贝格测度)

$d>1$时,以$d=2$为例,分布函数需要满足条件

Chapter 2 随机变量与概率分布

1.随机变量

1.基本概念

定义:设$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$为概率空间,$X$是定义在$\Omega$上,取值于$\mathbb R^d$的映射,若

则称$X$为$\Omega$上的(实)随机变量(向量)(可测映射)。上述定义等价于

一般地,设$(E,q)$是可测空间,$X$是$\Omega$到$E$的映射,若

则称$X$是$E$值随机变量(随机元)

定理2.1.1

证明:只证明第一个等价性。

$\Rightarrow$:取$B =(-\infty, a]$即可,显然。

$\Leftarrow$:定义

所以只要证明$\Pi= \mathcal B^d$即可,显然有$\Pi \subset \mathcal B^d$,所以只要证明$\mathcal B^d\subset \Pi $即可。

以$d=1$为例,记

不难验证$C$为半代数。注意$\forall (a,b] \in C$

由条件可知$\{w|X(w) \le b\} \in \mathcal F, \{w|X(w) \le a\}\in \mathcal F$,从而$X^{-1}((a, b]) \in \mathcal F$,因此$C \subset \Pi$

注意到$\sigma(C)=\mathcal B$,所以结论等价于$\sigma(C)\subset \Pi$,由$\lambda -\pi$系方法,只要证明$C$是$\pi$系,$\Pi$是$\lambda$系。

$C$是$\pi$系:由定义即可验证,显然。

$\Pi$是$\lambda$系:

(1)$\mathbb R\in \Pi$

$X^{-1}(\mathbb R)= \Omega \in \mathcal F$

(2)若$B_1, B_2 \in \Pi,B_1\subset B_2$,则$B_2 -B_1 \in \Pi$

由$\Pi$的定义可知

所以

因此$B_2 - B_1 \in \Pi$

(3)$B_1 ,…,B_n,B_1 \subset B_2…\subset B_n$,则$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \in \Pi$

由$\Pi$的定义可知

所以

所以$\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \Pi$。

由单调类定理可得:

例1

设$(\Omega,\mathcal F)$是一可测空间,对于$A\subset \Omega$,定义示性函数:

则$1_{A}$是可测函数$\Leftrightarrow A\in \mathcal F$

2.基本性质

习题

习题1

设$(\Omega,\mathcal F)$是一可测空间,对于$A\subset \Omega$,定义示性函数:

则$1_{A}$是可测函数$\Leftrightarrow A\in \mathcal F$

证明:$\Rightarrow$:因为$1_{A}$是可测函数,所以

注意到

所以$A^C \in \mathcal F$,从而$A \in \mathcal F$

$\Leftarrow$:因为$A\in \mathcal F$,所以$A^C \in \mathcal F$,注意到

所以对任意$x, \{w|1_{A}(w) \le x \} \in \mathcal F$,从而$1_{A}$是可测函数

习题2

若$X,Y$是实随机变量,则$X+Y$是实随机变量

证明:设全体有理点为$\{r_n\}$,可测空间为$(\Omega,\mathcal F)$,注意到

因为$X < z -Y$,所以存在$r_i$,使得$X<r_i < z- Y$,因此

因为

所以

习题3

设$(\Omega, \mathcal F)$是可测空间,$\mu$是$\mathcal F$上可加测度,且具有次$\sigma$可加性,试证$\mu$是测度

(课本P68/3.2/1)

证明:$\forall A_i \in \mathcal F$且$A_i$互不相交,由$\sigma$代数的定义可知

由$\mu$是$\mathcal F$上可加测度可得

由单调性可得

此式对任意$n$都成立,所以令$n\to \infty$可得

由次可加性可得

因此

即$\mu$是测度。

习题4

(课本P68/3.2/10)

(1)证明:$\forall 0 < a < 1,A\in \mathcal F$,定义

当$\mathbb P(A)=0$时,

因为$0<a<1$,所以

从而

下面验证$\mathbb P$是定义在$(\Omega, \mathcal F)$上的概率测度。

1.$\forall A_n \in \mathcal F$且$A_n$互不相交,则

2.

所以$\mathbb P$是定义在$(\Omega, \mathcal F)$上的概率测度。

结合之前结论可得

(2).同第一小问的思路,取正项无穷级数$\{a_n\}$,满足$\sum_{n=1}^{\infty} a_n =1$(例如可取$a_n =\frac{1}{2^n}$),任取$A\in \mathcal F$,定义

当$\mathbb P(A)=0$时,

因为$a_n>0,a_n\mathbb P_n(A) \ge 0 $,所以

下面验证$\mathbb P$是定义在$(\Omega, \mathcal F)$上的概率测度。

1.$\forall A_n \in \mathcal F$且$A_n$互不相交,则

备注:第三个等号涉及到了极限交换次序的问题,严格来说应该补充

从而$\sum_{i=1}^{\infty}a_i\mathbb P_i(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n)$一致收敛,可以换序。

2.

所以$\mathbb P$是定义在$(\Omega, \mathcal F)$上的概率测度。

结合之前结论可得

习题5

(课本P68/3.2/18)

证明:令

显然$\mathcal C \subset A $,而$\mathcal C$为$\pi$系,所以只要说明$A$为$\lambda$系即可。

(1)$\Omega\in \mathcal C \subset A$

(2)$\forall C,D\in A,C\subset D$,因为$\mu,\nu$为有限测度,所以$\mu(D)- \mu(C),\nu (D)- \nu(C)$有意义,那么

(3)任取$C_n \in A, C_n\uparrow$

令$D_n =C_n - \bigcup_{i=1}^{n-1}C_i =C_n- C_{n-1}$,那么

由测度的性质可知

由(2)可知$D_n \in A$,所以

累加可得

从而

从而$A$为$\lambda$系,结论成立。

本文标题:高等概率论第二讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2018年12月22日 - 00:58:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:15:03

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