高等概率论第一讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲内容为概率空间的基本定义。

Chapter 1 概率空间

1.集类与事件域

1.几种常见的集类

半(集)代数

定义:若子集类$\mathscr S$满足:

则称$\mathscr S$为(集)代数。

(集)代数

定义:若子集类$\mathscr A$满足:

则称$\mathscr A$(集)代数。

$\sigma$代数

定义:若子集类$\mathscr F$满足:

则称$\mathscr F$为一$\sigma-$代数(或$\sigma-$域)。

命题1

设$\mathcal C$是任意子集类,则存在唯一的一个$\sigma$代数($\sigma(\mathcal C)$),它是包含$\mathcal C$的最小$\sigma-$代数,称$\sigma (\mathcal C)$是$\mathcal C$生成的$\sigma$代数($\mathcal C$为生成元)

证明:

注意满足条件的$\sigma$代数是存在的,因为$\mathcal C \subset 2^{\Omega}$

$\lambda$系与$\pi$系

(1)定义:若子集类$\Pi$满足:

则称子集类$\Pi$为$\pi$系。

(2)定义:若子集类$\Lambda$满足

则称子集类$\Lambda$为$\lambda$系。

单调类

定义:若子集类$\mathscr M$满足:

则称子集类$\mathscr M$为单调类。

关于$\lambda $系与$\pi$系有如下重要定理。

2.单调类定理

定理1.1.1 $\lambda -\pi$系方法

证明:用$\lambda(\Pi)$表示包含$\Pi$的最小$\lambda$系,则只需证$\lambda(\Pi)= \sigma(\Pi)$即可。

因为$\sigma$代数一定是$\lambda$系,因此显然有$\lambda(\Pi) \subset \sigma(\Pi)$,所以只需证$\sigma(\Pi)\subset\lambda(\Pi) $,从而只需证$\lambda(\Pi)$为$\sigma$代数,又因为$\lambda(\Pi)$为$\lambda $系,所以只要证明$\lambda(\Pi)$关于可列并封闭即可。取$A_n \in \lambda(\Pi)$,那么

注意到$B_n \uparrow$,由$\lambda $系的性质3可知,我们只要说明$B_n \in \lambda(\Pi)$即可,从而只要证$\lambda(\Pi)$对有限并封闭。又注意到$\lambda $系包含全集且关于补封闭,所以我们只要证$\lambda(\Pi)$对有限交封闭,即证

下面分几种情形讨论。

如果$A,B \in \Pi$,由于$\Pi$为$\pi$系,那么$AB \in \Pi \subset \lambda(\Pi)$,结论成立。

如果$A\in \Pi,B \in \lambda(\Pi)$,定义

下证$\lambda(\Pi) = \Pi_{A}$,注意到$\Pi_{A}\subset \lambda(\Pi) $,所以只要证明$\lambda(\Pi)\subset \Pi_{A}$即可。因为$\Pi\subset \Pi_{A}$,所以只要说明$ \Pi_{A}$为$\lambda$系即可,下面逐条验证。

(1)$\Omega \in \Pi_A$

因为$A\Omega=A \in \Pi_A$,所以$\Omega \in \Pi_A$

(2)$B_1,B_2 \subset \Pi_A,B,B_1\subset B_2\Rightarrow B_2- B_1 \in \Pi_A$

要证明$B_2- B_1 \in \Pi_A$,只要证明$A(B_2- B_1)\in \lambda (\Pi)$。因为

由定义可知$AB_2 ,AB_1\in \lambda(\Pi)$且$AB_1\subset AB_2$,所以由$\lambda$系的定义可知$AB_2 -AB_1 \in \lambda(\Pi)$,从而$B_2- B_1\in \lambda (\Pi)$

(3)$B_n \in \Pi_A ,n\ge1且B_n \uparrow\Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \Pi_A$

根据定义验证即可,先证明$ \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \lambda(\Pi)$:

  • 因为$B_n \in \Pi_A \subset \lambda(\Pi),B_n \uparrow$,所以$ \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \lambda(\Pi)$

再证明$ A\bigcap(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n) \in \lambda(\Pi)$:

  • 因为$A\bigcap(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n) =\bigcup_{n=1}^{\infty}(A\bigcap B_n)$,然后注意到$A\bigcap B_n \in \Pi_A \subset \lambda(\Pi)$且$A\bigcap B_n \uparrow$,所以$A\bigcap(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n) \in \lambda(\Pi)$

结合上述3点可得$\Pi_A$为$\lambda$系。因为$\Pi \subset \Pi_A$,$\lambda(\Pi)$为包含$\Pi $的最小$\lambda$系,所以$\lambda(\Pi)\subset \Pi_A$,结合$\Pi_A\subset \lambda(\Pi)$可得$\Pi_A= \lambda(\Pi)$

如果$A\in \lambda(\Pi),B \in \lambda(\Pi)$,定义

注意由第二种情形可知$\Pi\subset \Pi_{B}$,所以同第二种情形的证明可得$\Pi_{B} =\lambda(\Pi)$

综上可得结论

成立。

定理1.1.2 单调类定理

证明见习题。

习题

习题1

$\mathscr M$为单调类,$\mathscr A$为代数,若$\mathscr A\subset \mathscr M$,则$\sigma(\mathscr A)\subset \mathscr M$

证明:定义$M(\mathscr A) = \bigcap_{M’包含\mathscr A且M’为单调类}M’$,则$M(\mathscr A)$为包含$\mathscr A$的最小单调类。由于$2^{\Omega}$显然为单调类且$\mathscr A \subset 2^{\Omega}$,所以满足条件$M’$存在,定义合理。

由定义可知$\mathscr M$为包含$\mathscr A$的单调类,所以$M(\mathscr A) \subset \mathscr M$,如果能推出$M(\mathscr A) = \sigma(\mathscr A)$,则结论成立。因为$\sigma$代数显然为单调类,所以$M(\mathscr A) \subset \sigma(\mathscr A)$,从而只要验证$\sigma(\mathscr A)\subset M(\mathscr A) $,若能证明$M(\mathscr A)$为$\sigma$代数,则结论成立,下面将证明这点。

(1)$\Omega \in M(\mathscr A)$

由$ \mathscr A$为代数可知$\Omega \in \mathscr A \subset M(\mathscr A)$

(2)$A \in M(\mathscr A) \Rightarrow A^C\in M(\mathscr A)$

为了证明$M(\mathscr A)$关于补运算封闭,构造如下集合:

下证$S_A = M(\mathscr A)$,类似$\lambda -\pi$系方法,分以下三步证明:

1.$S_A$为单调类

2.$\forall A\in \mathscr A,S_A = M(\mathscr A)$

3.$\forall A\in M(\mathscr A),S_A = M(\mathscr A)$

1.$\forall B_n\in S_A , B_n \uparrow $,那么$B_n \in M(\mathscr A),A-B_n \in M(\mathscr A), B_n - A \in M(\mathscr A)$,由$B_n \uparrow$可知$A-B_n \downarrow$且

$B_n -A \uparrow$

由$A-B_n \downarrow$且$A-B_n \in M(\mathscr A)$可得

由$B_n -A \uparrow$且$B_n - A \in M(\mathscr A)$可得

因为$M(\mathscr A)$为单调类,$B_n \uparrow $,所以$\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in M(\mathscr A)$。结合上述三点可得

这说明$S_A$对不降序列集的并封闭。

$\forall B_n\in S_A , B_n \downarrow $,那么$B_n \in M(\mathscr A),A-B_n \in M(\mathscr A), B_n - A \in M(\mathscr A)$,由$B_n \downarrow$可知$A-B_n \uparrow$且

$B_n -A \downarrow$

由$A-B_n \uparrow $且$A-B_n \in M(\mathscr A)$可得

由$B_n -A \downarrow $且$B_n - A \in M(\mathscr A)$可得

因为$M(\mathscr A)$为单调类,$B_n \downarrow$,所以$\bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \in M(\mathscr A)$。结合上述三点可得

这说明$S_A$对不升序列集列的交封闭。从而$S_A$为单调类。

2.$A\in \mathscr A$

由定义显然有$S_A\subset M(\mathscr A)$,所以只要证明$M(\mathscr A)\subset S_A$即可。注意由$\mathscr A$为代数可得$\mathscr A \subset S_A$,又因为$S_A$为单调类,所以$S_A$为包含$\mathscr A$的单调类,而$M(\mathscr A)$为包含$\mathscr A$的最小单调类,从而$M(\mathscr A)\subset S_A$。

3.$ A\in M(\mathscr A)$

由定义显然有$S_A\subset M(\mathscr A)$,所以只要证明$M(\mathscr A)\subset S_A$即可。$\forall B \in \mathscr A$,由2可知,$A \in S_B$,所以

因为$B \in \mathscr A \subset M(\mathscr A)$,所以$B \in S_A$(由定义),由$B$的任意性可知$\mathscr A\subset S_A$。又因为$S_A$为单调类,所以$S_A$为包含$\mathscr A$的单调类,而$M(\mathscr A)$为包含$\mathscr A$的最小单调类,从而$M(\mathscr A)\subset S_A$。

综上,$M(\mathscr A)$对差运算封闭。

(3)$ \forall A_n \in M(\mathscr A),\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in M(\mathscr A)$

由(1)(2)可知$ M(\mathscr A)$关于补运算封闭,所以$\forall A,B \in M(\mathscr A)$

从而$M(\mathscr A)$为代数。

现在取$B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i​$,注意代数关于有限交和补运算封闭且包含全集,从而也关于有限并运算封闭,所以

$B_n \in M(\mathscr A)$。因为$B_n \uparrow$,所以由单调类的定义可知

参考资料:https://www.lizhechen.com/2017/09/21/单调类定理/

本文标题:高等概率论第一讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2018年12月22日 - 00:54:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:15:09

原始链接:http://doraemonzzz.com/2018/12/22/高等概率论第一讲/

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