台大实分析单元 18 Caratheodory Measure 4

这一部分介绍了method2。

令$X$是一个度量空间,$\tau:\mathcal G \to [0,\infty]$为$\mathcal G \subset 2^X$上的准测度,对每个$\epsilon >0,A\subset X$,令

$\tau^d$被称为$X$上由method 2从$\tau$构造的测度。注意由于$\epsilon$越小,满足条件的$\{C_j\}$越少,从而$\tau_{\epsilon}(A)$越大,所以我们有

Exercise 1

Proposition 1

证明:令$A\subset X$,不妨假设$\tau^d(A)<\infty$,否则取$B=X$即可。对每个$k\in \mathbb N$,存在$\mathcal G$中序列$\{C_n^{(k)}\}$,使得对每个$n$,$\text{dim}C_n^{(k)} \le \frac 1 k$,并且$A\subset \bigcup_n C_n^{(k)}$,$\sum_{n}\tau(C_{n}^{(k)}) \le \tau_{\frac 1 k } (A) +\frac 1 k$。注意最后一个不等式是由下确界的定义决定。现在取$B =\bigcap_k \bigcup_n C_{n}^{(k)}$,那么$B\in \mathcal B(X)$,$A\subset B$,$\tau^d(A) \le \tau^d(B)$,接下来只要证明$\tau^d(A) \ge \tau^d (B)$,可以按如下方式证明:

从而结论成立。这里第一个不等号是因为

Measure theoretical approximation of sets in $\mathbb R^n$

Theorem 5

(i)证明:不妨假设$\lambda^n(A) <\infty$,否则取$G = \mathbb R^n$即可。考虑$\mathbb R^n$中任意有限中心区间构成的序列$\{I_k\}$,使得$A\subset \bigcup_k I_k$,令$G =\bigcup_k I_k$,那么$G$为开集,所以

为证明另一个方向的不等号,注意到由于$\lambda^n(A)$有限以及定义可知,我们可以找到$\sum_{k} |I_n| $和$\lambda^n(A)$非常接近,使得$\sum_{k} |I_n| \le \lambda^n(A)+\epsilon$,所以给定$\epsilon$,存在开集$G$使得$A\subset G$,使得

令$\epsilon \to 0$可得

从而结论成立

(ii)证明:令$A\subset \mathbb R^n$上可测集,下面分两种情形讨论。

情形1:$A$有界。

此时有如下Claim

[Claim]

因为$A$有界,所以存在包含$A$的开球$B$使得$\text{dist}(A,B^C)\ge \delta >0$,令$S=B\setminus A$,那么$S$可测。由(i)可知存在开集$G \supset S$,使得$\mu(G \setminus S) <\epsilon$,注意到

所以

考虑$C =G^C$,那么$C$为闭集,$C\bigcap A$为闭集,由$A$有界可知$C\bigcap A$有界,从而$K=C\bigcap A$为紧集,所以

从而当$A$有界时,(ii)成立。

情形2:$A$为一般可测集。

选择$R\ge 1$,使得$B_R(0) \bigcap A \neq \varnothing$,取

那么$A_1,…,A_k,…$为互不相交有界可测集,且$A= \bigcup_k A_k$。给定$0<\epsilon \le 1$,由于[Claim]可得,存在闭集$K_j \subset A_j$使得对每个$j$,$\lambda^n (A_j\setminus K_j) <\frac{\epsilon}{2^j}$,那么对$N \in \mathbb N$,令$ \mathcal K_N = \bigcup_{j=1}^N K_j$,那么$\mathcal K_N $为紧集且$\mathcal K_N \subset \bigcup_{j=1}^N A_j \subset A$

接下来继续考虑两种情况。

[Case A]:$\lambda^n (A) < \infty$,那么$\lambda^n (A) =\sum_{j=1}^{\infty} \lambda^n(A_j) <\infty$,存在$N_0 \in \mathbb N$,使得

接着计算$\lambda^n(A \setminus K_{N_0}) $

从而

另外,由定义显然有

从而结论成立。

[Case B]:$\lambda^n(A) =\infty$

从而

此时结论也成立。

本文标题:台大实分析单元 18 Caratheodory Measure 4

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2018年12月18日 - 01:02:00

最后更新:2019年02月12日 - 21:16:46

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