台大实分析单元 17 Caratheodory Measure 3

这一部分介绍了Lebesgue-Stieltjes测度以及Borel正则和Radom测度。

Unit 5 Caratheodory Measure

回顾Lebesgue-Stieltjes测度的定义:

我们有如下定理

Theorem 3

证明:前一半即为Theorem 2,只需证明后一半。令$A\subset \mathbb R$,那么由$\mu_g$的构造方式可知,存在$A$的有限开区间可数覆盖序列$\{I_n^{(1)}\},\{I_n^{(2)}\}…$,使得

对每个$k$,令$G_k =\bigcup_{n} I_n^{(k)}$,那么$G_k$是开集,$A\subset G_k$,并且

由前一个不等号可知

对第二个不等号两边关于$k$取极限可得

因此

令$B= \bigcap _k G_k$,那么$A\subset B$,所以

从而

结论得证。

下面的引理给出Lebesgue-Stieltjes测度在闭区间上的值

Lemma 3

证明:取$c<a<b < d$,那么

接下来证明另一个方向,令$\{I_n\}$为有限开区间列使得$[a,b]\subset \bigcup_n I_n$,那么存在$J=[a’,b’],a’<a,b’>b$使得$\{I_n\}$是$J$的开覆盖,令$\delta>0$为$J$关于$\{I_n\}$的开覆盖的勒贝格数,考虑分割$a’=x_0 < x_1<…<x_k =b’$,其中$x_j -{x_{j-1}}<\delta$,$j=1,…,k$。现在按如下方式操作:令$j_0=0$,选择$n_1 \in \mathbb N$,使得$[x_0,x_1] \in I_{n_1}$,令$j_1$为满足$[x_0, x_{j_1}]\subset I_{n_1}$的最大下标,如果$j_1 =k$,那么停止操作;否则令$I_{n_2}\supset [x_{j_1},x_{j_1+1}] $,$j_2$为满足$[x_{j_1},x_{j_2}]\subset I_{n_2}$的最大下标。按这个方式持续下去,我们可以得到$j_1 < j_2 < …< j_l$以及$n_1,…,n_l$,使得

所以

那么由定义可知

从而

Remark

我们有如下Remark:因为Borel集合都是$\mu_g$可测,所以

类似可得

Theorem 4

证明:显然$\hat g$为右连续,为了证明$\mu_{\hat g} = \mu_g$,令$(a,b)$为一开区间,存在$a_n \downarrow a,b_n \uparrow b$,$a_n,b_n$有限且$(a_n,b_n]\uparrow (a,b)$,那么

从而对$\mathbb R$中任意开集$G$,

现在对任意$A \subset \mathbb R$,由Theorem 3可知,存在序列$\{G_k\}$以及$\{\hat G_k\}$,使得对每个$k$,$A\subset G_k, \hat G_k$,并且

现在考虑交集$G_k\bigcap \hat G_k $,显然有$A\subset G_k\bigcap \hat G_k $,所以

另一方面$G_k\bigcap \hat G_k \subset G_k$,所以

因此

同理可得

因为$G_k\bigcap \hat G_k$为开集,由之前论述可知

从而

Borel regularity and Radom measures

首先给如Borel测度的定义:

所以Caratheodory测度为Borel测度。

接着给出Borel正则的定义:

不难看出$\lambda^n, \mu_g$为Borel正则。

最后给出Radom测度的定义:

不难看出$\lambda^n, \mu_g$为Random测度。

例1

令$\mu$为度量空间$X$上的测度,$f$为$X$为非负$\sum^{\mu}$-可测函数,令$\nu$按如下方式定义在$\mathcal B(X)$上的测度:

称其为关于$\mu$的不定积分。用$\{f_\mu\}$表示$\nu$,$\{f_\mu\}^$为利用method 1从$\{f_\mu\}$构造出来的测度,$\{f_\mu\}^$为$X$上唯一的$\mathcal B(X)$-正则测度使得对任意的$B\in \mathcal B(X)$

本文标题:台大实分析单元 17 Caratheodory Measure 3

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2018年12月18日 - 01:00:00

最后更新:2019年02月12日 - 21:16:54

原始链接:http://doraemonzzz.com/2018/12/18/台大实分析单元 17 Caratheodory Measure 3/

许可协议: 署名-非商业性使用-禁止演绎 4.0 国际 转载请保留原文链接及作者。