台大实分析单元 16 Caratheodory Measure 2

这一部分介绍了Lebesgue-Stieltjes测度。

Unit 5 Caratheodory Measure

回顾上一讲的结论

Theorem 1

由于$X$的每个闭集都$\mu$可测,所以$X$的每个开集都$\mu$可测,从而包含$X$的Borel集都可测,因此有如推论

Collary

Lebesgue-Stieltjes measure

接下来介绍Lebesgue-Stieltjes测度,首先给出定义

Theorem 2

证明该定理之前给出如下引理

Lemma 2

这个引理可以由如下事实得到:由于$[g(x^-),g(x^+)]$构成$y$轴上互不相交的区间,所以每个区间中可以选择一个有理数,从而每个间断点对应了一个有理数,因为有理数可列,单调函数的间断点最多为可列集。

接下来利用该引理证明定理2。

证明:

首先有如下[Claim]

[Claim]

设$a =x_0 < x_1 < …<x_{k-1} < x_k =b$为$g$的连续点并且$|x_j- x_{j-1}|<\epsilon$,由连续性,我们可以选择$y_1 \in (x_1, x_2)$使得

继续这样这样操作下去,使得$0<y_j -x_{j-1} < \epsilon ,g(y_j) - g(x_j) < \frac \delta k $,按如下方式取区间

那么显然有

注意到

令$\tau_{\epsilon}$为$\tau$限制在$\mathcal G_{\epsilon} = \{I=(a,b) \in \mathcal G :|I| \le \epsilon \}$,我们有如下结论

显然有$\tau^ \le \tau^_{\epsilon}$,接下来证明另一个方向。

对于$A\subset \mathbb R, \delta > 0$,取$\{I_n\}$,使得$A\subset \bigcup _n I_n$,由Claim可得,存在子列$\{I_{n}^{(j)}\}$使得

从而对每个$n$,我们有

令$\delta \to 0$可得

因此

最后证明$\tau$为Caratheodory Measure,任取$A,B$,使得$\epsilon =\rho(A,B) = \inf_{x\in A,y\in B} \rho(x,y)>0$,我们选择区间$\{a_i\},\{b_i\}$覆盖$A,B$且满足如下性质

最后一个限制是因为$\epsilon =\rho(A,B) > 0$,我们显然能找到这样的区间。

同Claim的方法我们知道,我们可以找到区间$\{a_i’\},\{b_i’\}$使得如下不等式成立:

注意

从而

所以上述不等式说明

令$\delta \to 0$可得

因此

从而结论成立。