台大实分析单元 15 Caratheodory Measure 1

这一部分介绍了Caratheodory Measure。

Unit 5 Caratheodory Measure

这一讲开始将介绍Caratheodory Measure,下面给出Caratheodory Measure的定义:

Theorem 1

在证明之前,首先给出一个引理

Lemma 1

证明:

显然有

为了证明$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n)\le \sup_n{\mu}(A_n)$,我们不妨假设$\sup_n{\mu}(A_n)<\infty$(否则不等号显然成立),令

那么当$m\ge n+2$时,$D_n \subset A_n,D_{m+2} \subset A_{n+2}^C\subset A_{n+1}^C$,从而

所以考虑间隔为$2​$的奇数以及偶数项,由数学归纳法可得

注意到

因此

从而

同理可得

注意$A_n \uparrow$,我们可得

令$n\to \infty$可得

结合两个方向的不等式可得

接下来证明定理1:

令$F$为$X$中闭集,任取$A\subseteq F,B\subseteq F^C$,由闭集的补为开集可知,当$x\in B$时,$\rho(x, F) >0$。对每个$n\in \mathbb N$,令$B_n =\{x\in B | \rho(x, F) > \frac 1 n \}$,不难看出$B_n \uparrow$,所以

我们给出如下Claim

[Claim]

证明:

任取$x\in B_n ,y \in B\setminus B_{n+1}$,由三角不等式可知,对于任意$ z\in F$

由$B_n$的定义可知

从而

选择序列$\{z_n\}\subset F$,使得

带入之前的不等式可得

令$n\to \infty$可得

最后一个不等式是因为由$B_{n+1}$的定义可知,$\rho(y,F) \le \frac 1 {n+1}$

现在对$\{B_n \}$应用引理1可得

注意$A\subset F$,所以我们有

从而对任意$n$

因此

这就证明了定理

本文标题:台大实分析单元 15 Caratheodory Measure 1

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2018年12月09日 - 19:41:00

最后更新:2019年02月12日 - 21:16:19

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