台大实分析单元 14 外测度 5

这一部分继续介绍了正则外测度的概念。

继续上次的内容,给出如下推论:

Collary 1

证明:

因为$\sum$是$\sigma$代数($\sum_{\sigma\delta}= \sum$),所以由Proposition 2,$\mu^*$是$\sum-正则$,结论第一部分证毕。

接下来证明唯一性:

令$\nu$是$\Omega$上一个$\sum-正则$测度,使得$\nu(A)=\mu(A)$对于$A\in\sum$。

现在任取$B\subset \Omega$,存在$\sum$中$A_1$和$A_2$,使得$B\subset A_1,B\subset A_2$,并且

取$A= A_1\bigcap A_2\in \sum$,那么$B\subset A$,并且

因此

从而

下面给出一些之前定理的应用:

例 1

证明:

取$\mathbb R$中序列$\{y_n\}$,$y_n \to y$,我们来证明$F(y_n )\to F(y)$,注意$F(y_n)= \int_{\mathbb R}f(x,y_n) dx$,那么

注意到$|f(x,y)| \le g(x) a.e$并且$g$勒贝格可积,那么由勒贝格控制收敛定理以及$f(x,y)$关于$y$连续可得

例 2

证明:

连续性即上例,这里证明可微性,取$\{\delta_n\}$,$\delta_n \to 0$,那么由定义可知:

其中$|\sigma_n| \le |\delta_n|$,并且当$\delta_n\to 0$时,$\sigma_n \to 0$,因为

所以由勒贝格控制收敛定理可得

这也说明$F(y)$可微

本文标题:台大实分析单元 14 外测度 5

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2018年12月02日 - 20:56:00

最后更新:2019年02月12日 - 21:16:25

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