台大实分析单元 13 外测度 4

这一部分介绍了正则外测度的概念。

回顾之前的记号表示:

接下来介绍正则(外)测度

正则(外)测度

例 1

$\lambda$是$\mathbb R$上正则外测度,$\lambda$是上一讲介绍的$\mathbb R$上勒贝格外测度,因为根据定义,存在开集序列$\{A_n\}$(由下确界的定义),使得$B\subset \bigcap A_n$,且$\mu(B) = \mu(\bigcap A_n)$

Theorem 3

证明:

由定义可知,对于每个$j$,存在$B_j \in \sum^{\Omega}$,使得$A_j \subset B_j$并且$\mu(A_j) =\mu(B_j)$,对于每个$j$,令$C_j = \bigcap_{n\ge j }B_n$,那么$C_j \uparrow$,注意到

所以

从而

注意

所以

由$C_j\uparrow$可知

因为$A_j \subset C_j$,所以

从而

接着给出如下定义:

Proposition 2

符号解释:

证明:

因为$\bigcup_n G_n =\Omega$,所以对于$B\subset \Omega$,存在$\{G_{n}^{(k)}\}$,$k=1,2,3…$,$G_{n}^{(k)} \in \mathfrak g$,使得对于每个$k$,$B\subset \bigcup_n G_n^{(k)}$,并且$\lim_{k\to \infty} \sum_n \tau(G_{n}^{(k)} ) = \tau^* (B)$

根据$\tau^*$的定义以及$\bigcup_n G_n =\Omega$,令

那么

由定义可知

所以

注意$B\subset A$,因此

例 2

Theorem 4

证明:

先证明一个Claim

[Claim]:

对于$A\in \mathcal A$,$B\subset \Omega$,考虑任意序列$\{A_n\} \subset \mathcal A$,使得$B\subset \bigcup_n A_n$,那么$A_n \bigcap A \subset \mathcal A$,$A_n \bigcap A^C \subset \mathcal A$(代数的定义),$A\bigcap B\subset \bigcup_n (A\bigcap A_n)$,$A^C \bigcap B\subset \bigcup_n (A^C\bigcap A_n)$,由$\sigma$可加性可得:

对左边取下确界可得

另一个方向的不等式是显然的

从而

为了证明

注意到由于$A\subset A$,所以

另外考虑任意$\{A_n\}\subset A$并且$A\subset \bigcup_n A_n$,我们有

从而

因此

接下来证明第二部分,先给出$\sigma$有限的定义:

还有如下推论:

接着开始证明,令$\nu$是在$\sigma(\mathcal A)$上的扩张,并且$A\in \sigma(\mathcal A)$,我们有如下Claim

[Claim]:

考虑$\{A_n\}\subset \mathcal A$,并且$A\subset \bigcup_n A_n$,那么$\nu(A)\le \sum_{n}\nu(A_n) = \sum_{n}\tau(A_n)$,因此$\nu(A)\le \tau^* (A)$

因为$\tau$为$\sigma$可加,那么在$\mathcal A$中存在$\Omega_1 \subset \Omega_2 \subset …\subset \Omega_n \subset …$,使得$\bigcup_n \Omega_n = \Omega$并且$\tau(\Omega_n) < \infty$,那么由[Claim]可得

因为$\tau(\Omega_n) <\infty$,所以两边可以消去$\tau(\Omega_n) $,因此

令$n\to \infty$,利用单调收敛定理可得

结合两个方向的不等式可得

这就证明的定理的第二部分。

本文标题:台大实分析单元 13 外测度 4

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2018年12月02日 - 20:55:00

最后更新:2019年02月12日 - 21:16:14

原始链接:http://doraemonzzz.com/2018/12/02/台大实分析单元 13 外测度 4/

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