台大实分析单元 8 度量空间 1

这一部分介绍了度量空间的基本概念。

我们之前考虑的都是测度空间$(\Omega,\Sigma, \mu)$,接下来我们要考虑定义在其上的度量空间$L^p(\Omega,\Sigma, \mu),1\le p \le \infty$,我们先介绍度量空间的预备知识。

度量的定义

令$M$是一个非空集合,考虑$\rho :M\times M \to \mathbb R$,如果$\rho$满足以下三个性质,$\rho$被称为度量:

来看几个具体例子

例1

下面证明$\rho​$为度量,前两个性质是显然的,我们只证明第三个性质,这里利用Cauchy–Schwarz不等式

我们用$||x||$表示$(\sum_{j=1}^nx_j^2)^{\frac 1 2 }$,所以

接下来我们证明

再作一个符号说明,定义

那么Cauchy–Schwarz不等式可以表达为

所以

例2

利用由Cauchy–Schwarz不等式可以证明$\rho$为度量。

该度量称为$\rho$上的酉度量,$\mathbb C^n$被称为$n$维酉空间。

例3

注意由于$x,y$为连续函数,那么

性质(i),(ii)显然满足,这里只验证性质(iii):

例4

离散空间

性质(i)(ii)显然满足,这里验证性质(iii),如果$\rho(x,y)=0$,结论显然成立,如果$\rho(x,y)=1$,那么$x\neq y$,任取$z\in M$,

所以$\rho(x,y)=1$时结论也成立。

有了度量之后,就可以仿照$\mathbb R$上定义开集闭集的概念,首先引入开球与闭球。

开球与闭球

定义开球和闭球的概念:

$B(x,r)$被称为以$x$为中心,$r$为半径的开球;$C(x,r)$被称为以$x$为中心,$r$为半径的闭球。

开集与闭集

利用开球和闭球定义开集闭集:

从定义可以得出,$B(x,r)$是开的,$C(x,r)$是闭的。

邻域

最后定义邻域的概念: