台大实分析单元 7 测度与积分 3

这一讲介绍了Fatou引理以及勒贝格控制收敛定理。

首先给定一个测度空间$(\Omega,\Sigma, \mu)$,其次回顾上次介绍的单调收敛定理:

Theorem 2 单调收敛定理

这里简单说明下这个定理,假设当$x\in N_n$时,$f_n<0$,其中$\mu(N_n)=0$,所以

这说明$\{f_n\}$除去一个零测集上都大于等于$0$。此外,由于$f_n\uparrow(a.e.)$,说明存在一个$N$,使得当$x\in \Omega \setminus N$时,$f_n \uparrow $,那么

这说明除去一个零测集,$\{f_n\}$满足原始的单调收敛定理的全部条件,接着我们在该零测集上定义$f_n=0$,使用原始的单调收敛定理即可。

通过下面的例子比较黎曼积分和勒贝格积分的区别。

例1

令$\{r_1,r_2,r_3,…\}$是$[0,1]$上理数全体,按如下方式定义$[0,1]$上的序列$\{f_n\}$:

那么$f_n \uparrow f$,其中$f$有如下定义:

显然有

但是我们知道$f​$为狄利克雷函数,$\int_0^1 f dx​$(黎曼积分)不存在。

Remark

如果$f_n\uparrow(a.e.)$并且$\{f_n \}$的下界为一个可积函数,$i.e.$ $f_n\ge g\quad a.e$,其中$g$可积,此时Theorem 2仍然成立:

只要对$\{f_n-g\}$应用Theorem 2即可。

接下来介绍最重要的两个定理,Fatou引理以及勒贝格控制收敛定理。

Theorem 3 Fatou Theorem

证明:

假设下界为$g$,令$g_n =\inf _{k\ge n} f_k$,那么$g_n \uparrow\underset{n\to \infty}{\lim \inf} f_n $。由定义可知$f_k\ge g$,所以$g_n\ge g$,那么由Theorem 2可得

因为$g_n\le f_n$,所以

注意$\lim_{n\to \infty} g_n = \underset{n\to \infty}{\lim \inf} f_n$,且由于极限存在,可得

那么

所以结论成立。

Collary 2

证明:

对$\{-f_n\}$应用Theorem 3即可。

Theorem 4 Lebesgue Dominated Convergence Theorem(LDCT)

证明:

因为$|f_n|\le g$,所以$-g\le f_n \le g$,由Fatou引理以及推论2可知

所以

但是由定义可知

所以