变分法 Lecture 2 基本原理以及欧拉-拉格朗日方程

这一讲主要介绍変分学的基本原理以及欧拉-拉格朗日方程。

参考资料：

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• 变分法及有限元.pdf)
• 变分法基础%E3%80%8B%E8%80%81%E5%A4%A7%E4%B8%AD.pdf)

这一部分开始正式讨论变分法，在讨论之前需要给出几个定义。

函数类

满足某种共同性质的函数构成的集合称为函数类，常见的函数类有：

• $C[a,b]$：在区间$[a, b]$上连续的函数全体；
• $C^n[a,b]$：在区间$[a, b]$上$n$阶导函数连续的函数全体；
  • 0阶导函数为函数本身，即$C^0[a,b]=C[a,b]$；

在变分法中，主要讨论的是$C^1[a,b]$。

泛函

记$F=\{y(x)\}$为某个函数类，如果对于$\forall y(x)\in F$，变量$J$都有一个确定的值与之对应，则称$J$为函数$y(x)$的泛函，记为$J[y(x)]$，$y(x)$称为泛函$J$的宗量。

例子

$$T=\int_{0}^1 y(x) dx, y\in C[0, 1]$$

变分

考虑函数类：

$$F=\{y| a\le x \le b , y(a)=y_0(a), y(b)= y_0(b)\}$$

其中$y_0$为某一给定函数。

对于任意$x\in [a, b]$，函数$y(x)\in F$与另一函数$y_0(x)$之差$y(x)-y_0(x)$在$y(x)$在$y_0(x)$处的变分，记作$\delta y$，$\delta $称为变分符号：

$$\delta y=y(x)-y_{0}(x)=\epsilon \eta(x)$$

式中$\epsilon > 0$是一个小量，$\eta (x)$是任意函数。

根据函数类的定义，可得：

$$\begin{aligned} \epsilon \eta(a)&= y(a)- y_0(a) = 0\\ \epsilon \eta(b)&= y(b)-y_0(b) = 0 \end{aligned}$$

即

$$\eta(a) =\eta(b) = 0$$

上述性质在后续讨论中会反复被使用。

注意函数的变分依然是函数，这一点要和微分区别开来，具体可以用下图理解：

变分和微分

假设之前引入$y, y_0$都可导，那么：

$$\begin{aligned} \delta y^{\prime}=& y^{\prime}(x)-y_{0}^{\prime}(x)={\left[y(x)-y_{0}(x)\right]^{\prime}=(\delta y)^{\prime} } \end{aligned}$$

即变分和微分可交换次序：

$$\delta\left(\frac{ {d} y}{ {d} x}\right)=\frac{d }{dx}(\delta y)$$

泛函的变分

定义泛函的变分为：

$$\delta J=\left.\frac{\partial}{\partial \epsilon} J[y(x)+\epsilon \delta y(x)]\right|_{\epsilon \rightarrow 0}$$

泛函极值条件

可以看到，函数（微分）和泛函（变分）是对应的，类似函数中的极值定理，对于泛函$J$，如果其在$y=y_0$取极值，那么：

$$\delta J=0$$

变分法预备定理

对于$f\in C[a,b]$，如果

$$\forall \phi \in C[a, b], \phi(a)=\phi(b) =0$$

都有：

$$\int _a^b f(x) \phi(x) =0$$

那么：

$$f=0$$

证明：

取：

$$\phi (x) =f(x)(x-a)(b-x)$$

那么：

$$\int _a^b f(x) \phi(x) = \int_a^b f^2(x)(x-a)(b-x) =0$$

因为：

$$f^2(x)(x-a)(b-x)\ge 0$$

所以必然有：

$$f^2(x)(x-a)(b-x) = 0, \forall x \in [a, b]$$

即：

$$f(x) =0,\forall x \in [a,b]$$

欧拉-拉格朗日方程

现在考虑泛函极值问题：

$$J[y(x)]= \int_a^b F(x, y, \dot y) dx$$

根据之前讨论，可得只需计算：

$$\delta J=\left.\frac{\partial}{\partial \epsilon} J[y(x)+\epsilon \delta y(x)]\right|_{\epsilon \rightarrow 0} = 0$$

根据定义，我们有：

$$J[y(x)+\epsilon \delta(x)]= \int_a^b F(x, y+\epsilon \delta y, y' +\epsilon \delta y') dx$$

所以

$$\begin{aligned} \left.\frac{\partial}{\partial \epsilon} J[y(x)+\epsilon \delta y(x)]\right|_{\epsilon \rightarrow 0} &= \left. \int_a^b F_y(x, y+\epsilon \delta y, y' +\epsilon \delta y') \delta y +F_{\dot y}(x, y+\epsilon \delta y, y' +\epsilon \delta y') \delta y 'dx \right|_{\epsilon \rightarrow 0} \\ &= \int_a^b\left[\frac{\partial F}{\partial y} \delta y+\frac{\partial F}{\partial y'} \delta y' \right] dx \end{aligned}$$

利用分布积分公式计算第二项（利用$(\delta y)(a)=(\delta y)(b) =0$）：

$$\begin{aligned} \int_a^b \frac{\partial F}{\partial y'} \delta y' dx &= \int_a^b \frac{\partial F}{\partial y'} (\delta y)' dx \\ &=\left.\left(\frac{\partial F}{\partial y'} \delta y \right) \right |_{a}^b- \int_a^b \frac{d}{dx}\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\right] \delta y dx\\ &= -\int_a^b \frac{d}{dx}\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\right] \delta y dx \end{aligned}$$

所以原式可以变换为：

$$\begin{aligned} \left.\frac{\partial}{\partial \epsilon} J[y(x)+\epsilon \delta y(x)]\right|_{\epsilon \rightarrow 0} &= \int_a^b\left[\frac{\partial F}{\partial y} \delta y+\frac{\partial F}{\partial y'} \delta y' \right] dx \\ &= \int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\right] \right]\delta y dx \end{aligned}$$

利用$\delta y$的任意性以及变分法预备定理，可得：

$$\frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\right] =0$$

这就是欧拉-拉格朗日方程。