这段时间主要精力都在炼丹,魔改网络结构上,公开课不知不觉落下许多,最近准备继续投入精力进行学习,主要集中于一些数学基础课程上,最先开始的是変分学,这里列出一些学习资料:

変分学是研究泛函极值的问题,这里不从定义出发,从几个经典例子开始进入介绍。

例1:最速降线

假设有不在同一铅垂线的两点$A$和$B$,在所有连接$A$和$B$的平面光滑曲线中,找出一条曲线,使得质点从$A$到$B$的时间最短(仅受重力的情况下):

假设按上图方式建系,并假设$A(0, 0), B(x_1, y_1)$。根据能量守恒,曲线上任意一点$(x,y)$的速度为:

那么:

总时间为:

所以问题转换为:

这里的问题是一个极值问题,和函数极值的区别在于这里最小化的变量为函数$y(x)$。

例2:最小表面积之旋转体

假设有$A$和$B$两点和一条轴,考虑任意一条过$A$和$B$的曲线绕该轴旋转得到的旋转体,问使得表面积最小的旋转体是什么?

将轴视为$x$轴,按如下方式建系:

假设$A$的坐标为$(x_1, y_1)$,$B$的坐标为$(x_2,y_2)$,曲线为$y(x)$,考虑上图的虚线部分,其面积为:

所以总面积为:

所以问题转换为:

例3:等周问题

长度一定的封闭曲线中,什么时候其面积最大?

不难证明要使得面积最大,曲线必然对称,所以可以按如下方式建系,不妨设对称轴为$x$轴,对称轴和曲线的最左侧和左右侧的交点分别为$A, B$,其中$A$过原点:

假设$A(0, 0), B(x_0, 0)$,曲线为$y(x)$,曲线的半周长为$c$,即:

那么面积为:

所以问题转换为:

例4:测地线

找到曲面上的两点$A,B$的最短路径。

假设$A(x_1,y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$,曲面方程为$\phi(x,y,z)=0$,那么测地线的长度为:

所以问题转换为:

小结

从上面几个例子中,可以看到,変分学主要目标就是找到一个函数,使得某个量(泛函)达到极值。