书籍介绍:

https://book.douban.com/subject/21323941/

github仓库:

https://github.com/Doraemonzzz/Concrete-Mathematics

这次回顾第二章,和式。

第2章 和式

热身题

1

2

因此

3

注意第二个式子中满足条件的$k$为$0,\pm 1,\pm2$。

4

a
b

5

将$j$替换为$k$,导致两个指标相同。

6

7

8

当$m> 0$时,

当$m\le 0$时,

9

取$m=-n$,那么

10

显然有

所以只要证明

即可。

左边:

右边:

因此

基础题

11

12

注意到

如果$c$是奇数,那么

如果$c$是偶数,那么

因此

13

那么

递归式

解的一般形式为

根据22页的结果可得

此处

所以

因此

注意该方法有特殊性,更一般的方法应该是令

然后得到递推式

14

15

注意到

回顾31页2.33

因此

16

17

第一个等式:

第二个等式:

18

注意到

$\Rightarrow$:

因为$\sum_{k \in K} a_{k}$绝对收敛,所以$\sum_{k \in K}\Re a_{k},\sum_{k \in K}\Im a_{k}$绝对收敛,因此存在$B_1,B_2$,使得对所有$F\subseteq K$,都有

记$B=B_1+B_2$,那么

$\Leftarrow$:

对所有$F\subseteq K$,都有

所以$\sum_{k \in K}\Re a_{k},\sum_{k \in K}\Im a_{k}$绝对收敛,因此$\sum_{k \in K} a_{k}$绝对收敛。

19

回顾38页:

可得

20

定义

那么

21

和式一:

和式二:

和式三:

22

记:

将$j,k$互换,我们得到

另一方面

因此

特别的,取

可得

23

解法1:

解法2:

回顾分部求和法:

这里取

因此

24

回顾分部求和法:

这里取

因此

25

对应关系:

性质的改变基本符合如下规律:

  • $\sum \to \prod$
  • 加法变乘法。
  • 乘法变乘方。

26

注意到

交换$j,k$可得

因此

27

所以

取$c=-2$可得

因此

28

第二个等号位置已经有错误了,因为分解的两个级数不绝对收敛。

29

30

记目标为$n$,假设其可表示为$k$个整数和:

注意这里$k$和$2i+k+1$奇偶性不同。

这里$n=1050$,因此

奇数因子数量为$2\times 3\times 2=12$,而$k< 2i+k+1$,所以数量为$12$。

31

等式一:

等式二:

32

左边:

如果$2i \le x < 2i+1, i\in \mathbb Z$,那么

如果$2i -1\le x < 2i,i-1/2\le x/ 2 < i,i\in \mathbb Z$,那么

右边:

如果$2i \le x < 2i+1,i -1/2\le (x-1)/2 <i, i\in \mathbb Z$,那么

如果$2i-1 \le x < 2i,i -1\le (x-1)/2 <i -1/2, i\in \mathbb Z$,那么

因此

重点

27, 30, 32