台交大随机过程 Lecture 7

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这次回顾第七讲,介绍了离散时间过程,对应视频15。

基本概念

利用符号$x[m]$表示离散时间过程,即

自相关函数为

如果$x[m]$是WSS,那么自相关函数为

离散时间过程的功率谱为

这里

利用逆傅里叶变换得到

由定义不难得到

由唯一性可得

卷积

对应响应函数为$h[n]$的离散时间系统,我们有

有类似之前的基本定理:

半正定性

函数$R(\tau)$有非负傅里叶变换,当且仅当其为半正定,即

为了证明这点,需要用到如下引理:

引理(Schur)

离散(可和)函数$R[\tau]$,满足$R^{*}[-\tau]=R[\tau]$,有非负傅里叶变换

当且仅当对每个$n$,Hermitian Toeplitz矩阵$\mathbb{T}_{n}$是半正定,其中

证明:

$\Rightarrow$:

假设$S[\omega] \geq 0$,令$\vec{a}=\left[a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}\right]^{T}$。那么

其中${\dagger}$表示共轭转置。

$\Leftarrow$:

假设$\mathbb T_n$对每个$n$都是半正定。

令$\vec{a}=\left[a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}\right]^{T}$,其中$a_{m}=\sqrt{1-\rho^{2} } \rho^{m} e^{j m \omega_{0} },0<\rho <1,-\pi \le w_0 <\pi$。那么,

注意到

第一个不等号利用了绝对可和性:

所以由控制收敛定理,我们有

其中

利用泊松公式

我们可得对于任意$0<\rho <1$,

令$\rho \to 1$,我们有

推论(Paley-Wiener判别准则)

在Schur引理下,如果

那么对每个$n$,$\mathbb{T}_{n}$都是正定。

说明:该判别准则的含义是不存在测度大于$0$的集合,使得$S[w]=0$。

证明见ppt 141-142.

一般性质

$\boldsymbol{x}[t]=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{c}_{i} e^{j \omega_{i} t}$是WSS当且仅当$\left\{c_{i}\right\}$不相关$0$均值(这里假设$\left\{\omega_{i}\right\}$两两不同并且不包含$0$)

证明:

$\Rightarrow$:

此时

求解该线性方程组可得

另一方面

利用之前类似的方法可得

$\Leftarrow$:

显然。

定理回顾

本文标题:台交大随机过程 Lecture 7

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2020年08月01日 - 22:31:00

最后更新:2020年08月02日 - 11:25:56

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