台交大随机过程 Lecture 6

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这次回顾第六讲,介绍了均方误差下的等式,对应视频13-14。

几个重要定理

定理9-5

如果WSS过程$x(t)$的自相关函数$R_{x x}(\tau)$满足$R_{x x}\left(\tau_{1}\right)=R_{x x}(0)$,对于某个$\tau_1\neq 0$,那么$R_{xx}(\tau)$的周期为$\tau_1$。

证明:

利用Cauchy-Schwartz不等式

这等价于

注意$R_{x x}(0)$为实数,所以

从而

因此

推论

如果WSS过程$x(t)$的自相关函数$R_{x x}(\tau)$在原点连续,那么它在每处都连续。

证明:

利用Cauchy-Schwartz不等式

这等价于

因此

引理:交叉谱的上界

对于任意$a,b$,

证明:

令$z(t),w(t)$是WSS输入$x(t),y(t)$通过滤波器$H(\omega)=1 \cdot 1\{a<\omega<b\}$的输出,那么根据Cauchy-Schwartz不等式,

注意到

所以结论得证。

均方误差意义下的等式

均方(MS)意义相等

两个过程$\{\boldsymbol{x}(t), t \in \mathcal{I}\},\{\boldsymbol{y}(t), t \in \mathcal{I}\}$在均方意义下相等, 当且仅当

定义:均方周期

过程$x(t)$被称为均方周期,如果对每个$t$

定理:均方周期性和自相关函数的关系

过程$x(t)$是MS周期,当且仅当自相关函数是双重周期的,即对每个整数$m,n$,都有

证明:

$\Rightarrow$:

利用Cauchy-Schwartz不等式

这推出

重复上述过程即可证明结论。

$\Leftarrow$:

由定义可得

因此

定义:均方连续

过程$\boldsymbol{x}(t)$被称为均方连续,如果对每个$t$,都有

因为

所以MS连续当且仅当自相关函数连续。

对于WSS过程,我们有

定义:均方可微

过程$\boldsymbol{x}(t)$被称为均方可微,如果对每个$t$,都有

因为

因为

从而$x(t)$均方可微当且仅当$\partial^{2} R_{x x}\left(t_{1}, t_{2}\right) /\left.\partial t_{1} \partial t_{2}\right|_{t_{1}=t_{2}}$存在。

定义:均方(黎曼)可积

过程$\boldsymbol{x}(t)$被称为均方(黎曼)可积,如果对任意$a,b$都,都有

证明:

其中

那么

所以$x(t)$是均方(黎曼)可积,当且仅当$\int_{a}^{b} \int_{a}^{b} R_{x x}\left(t_{1}, t_{2}\right) d t_{1} d t_{2}$黎曼可积。

本文标题:台交大随机过程 Lecture 6

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2020年07月26日 - 11:22:00

最后更新:2020年08月02日 - 12:04:30

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