台交大随机过程 Lecture 4

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这次回顾第四讲,介绍了线性时不变系统,脉冲响应函数以及卷积,对应视频9-11。

有随机输入的系统

输入:$x(t)$,其中$\{x(t), t \in \mathcal{I}\}$定义在$(S, \mathcal{F}, P)$

算子:$\boldsymbol{T}$

输出:$\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{T}(\{\boldsymbol{x}(s), s \in \mathcal{I}\}, t)=\boldsymbol{T}_{t}(\{\boldsymbol{x}(s), s \in \mathcal{I}\})$

系统分类

确定性系统:$\boldsymbol{T}_{t}\left(x^{\mathcal{I}}, \zeta\right)=\boldsymbol{T}_{t}\left(x^{\mathcal{I}}\right)$

随机系统:存在$\zeta_{1} \neq \zeta_{2}$,使得$\boldsymbol{T}_{t}\left(x^{\mathcal{I}}, \zeta_{1}\right) \neq \boldsymbol{T}_{t}\left(x^{\mathcal{I}}, \zeta_{2}\right)$

无记忆系统

系统是无记忆的,如果$T_{t}\left(x^{\mathcal{I}}, \zeta\right)=T\left(x^{\mathcal{I}}, \zeta\right)$。

引理

如果无记忆系统的输入$x(t)$是SSS,那么其输出$y(t)$也是SSS

证明:

考虑概率

定义

那么

推论
  • 如果输入$x(t)$是$n$阶平稳,那么输出$y(t)$是$n$阶平稳
  • 如果输入$x(t)$是区间平稳,那么输出$y(t)$也是区间平稳
  • 但是,如果输入$x(t)$是WSS,输出$y(t)$不一定是WSS

最后一点的反例如下:

考虑$y(t)=x^2(t)$,其中$\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{a} \cos (\omega t)+\boldsymbol b \sin (\omega t)$,$a,b$独立$0$均值。

计算相关函数:

只有当$E\left[\boldsymbol{a}^{4}\right]=3 E^{2}\left[\boldsymbol{a}^{2}\right]$时,$y(t)$才是WSS。

例子:Arcsine law

定义

其中$x(t)$是$0$均值高斯平稳过程。计算$y(t)$的均值和自相关函数。

解:

显然

对于$R_{y y}\left(t_{1}, t_{2}\right)$,注意到

现在计算$x(t_1),x(t_2)$的联合概率分布,首先显然是联合高斯分布,期望为$0$,协方差矩阵为

其中$\rho=R_{x x}\left(t_{1}-t_{2}\right) / R_{x x}(0)$。

所以

具体推导见课件81-82。

所以

定理(Bussgang)

假设系统是无记忆的,如果输入为$0$均值,高斯,那么互相关函数$R_{x y}(\tau)$和$R_{xx}(\tau)$成正比。

证明:

协方差矩阵为

其中$\rho=R_{x x}\left(t_{1}-t_{2}\right) / R_{x x}(0)$。

那么

如果$g’(.)$存在,以及

那么

证明:

Dirac Delta函数

定义Dirac Delta函数$\delta(t)$为满足如下条件的函数:

Dirac Delta函数满足如下性质:

线性系统

如果系统满足

那么系统$T$被称为线性系统。

线性系统可以表示为卷积的形式,为了证明这点,首先考虑如下引理:

引理

如果一阶可微函数$f$满足

那么

证明:

所以

注意到线性系统显然有

这说明

卷积

线性系统可以表示为卷积的形式。

连续系统:

离散系统:

脉冲响应:

以离散情形的例子证明该结论:

定义线性系统

那么由引理可得

同理可得

时不变系统

系统被称为时不变,如果$\boldsymbol{T}_{t}\left(x^{\mathcal{I}}, \zeta\right)=\boldsymbol{T}\left(x^{\mathcal{I}}, \zeta\right)$。

含义:$x(t-s)$的输出为$y(t-s)$

此时

时变系统

考虑

那么

显然该系统是线性的,但是如果输入为$x(t-s)$,那么输出为

所以是时变的。

基本定理和定理9.2

对于任意线性系统,我们有

证明:

推论

对于任意线性系统

例1:微分算子

微分算子是线性时不变系统,其输出为输入的导数,即

注意微分系统可以表示为

其中

那么根据定理9.2,我们有

同理可得

利用推论得到

以及

例2:微分方程

微分方程的形式如下:

这里假设初值为$0$,$y(t)$唯一。

那么根据基本定理:

将系统理解为输入$y(t)$,输出$x(t)$,那么根据定理9.2可得

定理9-2的推广

本文标题:台交大随机过程 Lecture 4

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2020年07月11日 - 21:04:00

最后更新:2020年07月22日 - 12:43:54

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