台交大随机过程 Lecture 2

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https://www.youtube.com/watch?v=IsQSWVbAKy0&list=PLj6E8qlqmkFvw7Rt63yBqai2HmPKF0V0J

这次回顾第二讲,继续介绍基本概念,对应视频5-6。

独立性

两个过程$\boldsymbol{x}(t), y(t)$独立,如果$x(t)$的任何有限维样本独立于$y(t)$的任何有限维样本。

正交性

两个过程$x(t),y(t)$正交,如果对于任意$t_1,t_2\in \mathcal I$:

不相关性

两个过程$x(t),y(t)$不相关,如果对于任意$t_1,t_2\in \mathcal I$:

$a-$依赖

如果两个过程

对于任何$t_0$都是独立的,则随机过程$x(t)$是$a$-依赖。

相关性$a-$依赖

如果$\left|t_{1}-t_{2}\right|>a$时$C_{x x}\left(t_{1}, t_{2}\right)=0$,则随机过程是相关性$a-$依赖。

Strictly White

如果$x(t_1)$和$x(t_2)$对于每个$t_1\neq t_2$独立,则过程$x(t)$是Strictly White。

White

如果$x(t_1)$和$x(t_2)$对于每个$t_1\neq t_2$不相关,则过程$x(t)$是White。

独立增量性

如果$\boldsymbol{x}\left(t_{2}\right)-\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)$和$\boldsymbol{x}\left(t_{4}\right)-\boldsymbol{x}\left(t_{3}\right)$对于任何$t_1 <t_2 <t_3 <t_4$是独立的,则过程$x(t)$是具有独立增量性的过程。

不相关增量

如果$\boldsymbol{x}\left(t_{2}\right)-\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)$和$\boldsymbol{x}\left(t_{4}\right)-\boldsymbol{x}\left(t_{3}\right)$对于任何$t_1 <t_2 <t_3 <t_4$是不相关的,则过程$x(t)$是具有不相关增量性的过程。

正态过程

如果$x(t)$的任何有限维样本为联合正态,则将过程$x(t)$称为正态。

点过程

点过程是时间轴上的一组随机点$t_i$。

更新过程

更新过程由一个点过程的更新间隔组成,即$z_n=t_n- t_{n-1}$。

计数过程

计数过程$x(t)$收集在$[0,t)$期间出现的随机点的数量。

泊松过程

满足如下性质的过程称为泊松过程:

  1. 在时间区间$[t_1,t_2)$中出现的泊松点的次数服从泊松分布,其参数为$\nu\left(t_{1}, t_{2}\right) \triangleq \int_{t_{1} }^{t_{2} } \lambda(t) d t$:

  2. 如果$[t_1,t_2)$和$[t_3,t_4)$是非重叠区间,则$\boldsymbol n[ t_1,t_2)$和$\boldsymbol n[t_3,t_4)$是独立的。

下面计算$\boldsymbol{x}(t) \triangleq \boldsymbol{n}[0, t)$的期望和自相关函数,$\boldsymbol{x}(t)$的图示如下:

计算过程如下:

对于$t_1\le t_2$,

同理,对于$t_1>t_2$,

因此

如果$\lambda(t)$是常数$\lambda$,那么

本文标题:台交大随机过程 Lecture 2

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2020年06月24日 - 15:58:00

最后更新:2020年06月28日 - 15:21:42

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