台交大随机过程 Lecture 2

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https://www.youtube.com/watch?v=IsQSWVbAKy0&list=PLj6E8qlqmkFvw7Rt63yBqai2HmPKF0V0J

这次回顾第二讲，继续介绍基本概念，对应视频5-6。

独立性

两个过程$\boldsymbol{x}(t), y(t)$独立，如果$x(t)$的任何有限维样本独立于$y(t)$的任何有限维样本。

正交性

两个过程$x(t),y(t)$正交，如果对于任意$t_1,t_2\in \mathcal I$：

$R_{x y}\left(t_{1}, t_{2}\right)=0$

不相关性

两个过程$x(t),y(t)$不相关，如果对于任意$t_1,t_2\in \mathcal I$：

$C_{x y}\left(t_{1}, t_{2}\right)=0$

$a-$依赖

如果两个过程

$\{\boldsymbol{x}(t), t<t_{0}\},\{\boldsymbol{x}(t), t>t_{0}+a\}$

对于任何$t_0$都是独立的，则随机过程$x(t)$是$a$-依赖。

Strictly White

如果$x(t_1)$和$x(t_2)$对于每个$t_1\neq t_2$独立，则过程$x(t)$是Strictly White。

White

如果$x(t_1)$和$x(t_2)$对于每个$t_1\neq t_2$不相关，则过程$x(t)$是White。

独立增量性

如果$\boldsymbol{x}\left(t_{2}\right)-\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)$和$\boldsymbol{x}\left(t_{4}\right)-\boldsymbol{x}\left(t_{3}\right)$对于任何$t_1 <t_2 <t_3 <t_4$是独立的，则过程$x(t)$是具有独立增量性的过程。

不相关增量

如果$\boldsymbol{x}\left(t_{2}\right)-\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)$和$\boldsymbol{x}\left(t_{4}\right)-\boldsymbol{x}\left(t_{3}\right)$对于任何$t_1 <t_2 <t_3 <t_4$是不相关的，则过程$x(t)$是具有不相关增量性的过程。

正态过程

如果$x(t)$的任何有限维样本为联合正态，则将过程$x(t)$称为正态。

点过程

点过程是时间轴上的一组随机点$t_i$。

更新过程

更新过程由一个点过程的更新间隔组成，即$z_n=t_n- t_{n-1}$。

计数过程

计数过程$x(t)$收集在$[0，t)$期间出现的随机点的数量。

泊松过程

满足如下性质的过程称为泊松过程：

在时间区间$[t_1,t_2)$中出现的泊松点的次数服从泊松分布，其参数为$\nu\left(t_{1}, t_{2}\right) \triangleq \int_{t_{1} }^{t_{2} } \lambda(t) d t$：
$\operatorname{Pr}\left\{ {n}\left[t_{1}, t_{2}\right)=k\right\}=\frac{e^{-\nu\left(t_{1}, t_{2}\right)}\left[\nu\left[t_{1}, t_{2}\right)\right]^{k} }{k !}$
如果$[t_1，t_2)$和$[t_3，t_4)$是非重叠区间，则$\boldsymbol n[ t_1，t_2)$和$\boldsymbol n[t_3，t_4)$是独立的。

下面计算$\boldsymbol{x}(t) \triangleq \boldsymbol{n}[0, t)$的期望和自相关函数，$\boldsymbol{x}(t)$的图示如下：

计算过程如下：

$\mu_{x}(t)=E[\boldsymbol{x}(t)]=E[\boldsymbol{n}[0, t)]=\int_{0}^{t} \lambda(t) d t$

对于$t_1\le t_2$，

$\begin{aligned} R_{x x}\left(t_{1}, t_{2}\right) &=E\left[\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right) \boldsymbol{x}^{*}\left(t_{2}\right)\right] \\ &=E\left[\boldsymbol{n}\left[0, t_{1}\right) \boldsymbol{n}\left[0, t_{2}\right)\right] \\ &=E\left\{\boldsymbol{n}\left[0, t_{1}\right)\left[\boldsymbol{n}\left[0, t_{1}\right)+\boldsymbol{n}\left[t_{1}, t_{2}\right)\right]\right\} \\ &=E\left[\boldsymbol{n}^{2}\left[0, t_{1}\right)\right]+E\left[\boldsymbol{n}\left[0, t_{1}\right) \boldsymbol{n}\left[t_{1}, t_{2}\right)\right] \\ &=E\left[\boldsymbol{n}^{2}\left[0, t_{1}\right)\right]+E\left[\boldsymbol{n}\left[0, t_{1}\right)\right] E\left[\boldsymbol{n}\left[t_{1}, t_{2}\right)\right]\\ &\begin{array}{l} =\left(\int_{0}^{t_{1} } \lambda(t) d t+\left(\int_{0}^{t_{1} } \lambda(t) d t\right)^{2}\right)+\left(\int_{0}^{t_{1} } \lambda(t) d t\right)\left(\int_{0}^{t_{2} } \lambda(t) d t-\int_{0}^{t_{1} } \lambda(t) d t\right) \\ =\int_{0}^{t_{1} } \lambda(t) d t+\int_{0}^{t_{1} } \int_{0}^{t_{2} } \lambda(t) \lambda(s) d t d s \end{array} \end{aligned}$

同理，对于$t_1>t_2$，

$R_{x x}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\int_{0}^{t_{2} } \lambda(t) d t+\int_{0}^{t_{1} } \int_{0}^{t_{2} } \lambda(t) \lambda(s) d t d s$

因此

$R_{x x}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\int_{0}^{\min \left\{t_{1}, t_{2}\right\} } \lambda(t) d t+\int_{0}^{t_{1} } \int_{0}^{t_{2} } \lambda(t) \lambda(s) d t d s$

如果$\lambda(t)$是常数$\lambda$，那么

$R_{x x}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\lambda \cdot \min \left\{t_{1}, t_{2}\right\}+\lambda^{2} t_{1} t_{2}$