EE263 Lecture 14 Linear dynamical systems with inputs and outputs

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这次回顾第十四讲,这一讲结束了约当标准型,介绍了带有输入输出的线性动力系统。

一般化的mode

考虑$\dot{x}=A x$,其中

那么

这说明

  • 轨迹停留在广义特征向量的张成的空间内
  • 系数的形式为$p(t) e^{\lambda t}$,其中$p$是多项式
  • 这种解被称为系统的通用mode

对于一般的$x(0)$,我们可以写成

其中

因此:$\dot{x}=A x$的所有解是mode的线性组合

Cayley-Hamilton定理

如果$p(s)=a_{0}+a_{1} s+\cdots+a_{k} s^{k}$是多项式以及$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$,我们定义

Cayley-Hamilton定理:对于任意$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$,我们有$\mathcal{X}(A)=0$,其中$\mathcal{X}(s)=\operatorname{det}(s I-A)$

例子:对于$A=\left[\begin{array}{ll}{1} & {2} \ {3} & {4}\end{array}\right]$,我们可得

推论:对任意$p\in \mathbb Z^+$,我们有

(如果$A$可逆,上述结论对$p\in \mathbb Z $成立)

即:$A$的每个幂可以表达为$I, A, \ldots, A^{n-1}$的线性组合。

证明:由带余除法可得

其中

那么

如果$A$可逆,那么

由此可得

因此

即:逆是$A^{k}, k=0, \dots, n-1$的线性组合

C-H定理的证明

首先假设$A$可对角化:$T^{-1} A T=\Lambda$,考虑特征多项式

因为

所以只要证明$\mathcal{X}(\Lambda)=0$:

现在考虑一般的情形:$T^{-1} A T=J$,考虑特征多项式

所以只要证明$\mathcal{X}\left(J_{i}\right)=0$:

Lecture 13 带有输入输出的线性动力系统

输入和输出

回顾连续时间,时间不变的LDS的形式为

  • $Ax$被称为$\dot x$的漂移项
  • $Bu$被称为$\dot x$的输入项

解释

将方程重写为

其中$B=\left[b_{1} \cdots b_{m}\right]$

  • 状态的导数为自治项$Ax$和每个输入项$b_iu_i$的总和
  • 每个输入$u_i$给出$\dot x$的额外自由度(假设$B$的列线性无关)

将$\dot{x}=A x+B u$写成$\dot{x}_{i}=\tilde{a}_{i}^{T} x+\tilde{b}_{i}^{T} u$,其中$\tilde{a}_{i}^{T}, \tilde{b}_{i}^{T}$为$A,B$的行

  • 第$i$个状态导数是状态$x$和输入$u$的线性函数

框图

  • $A_{ij}$为状态$x_j$到第$i$个积分的增益因子
  • $B_{ij}$为状态$u_j$到第$i$个积分的增益因子
  • $C_{ij}$为状态$x_j$到输出$y_i$的增益因子
  • $D_{ij}$为输入$u_j$到输出$y_i$的增益因子

传递矩阵

对$\dot{x}=A x+B u$使用拉普拉斯变换:

因此

所以

  • $e^{t A} x(0)$是非强制或自治反应
  • $e^{t A} B$被称为输入到状态的脉冲矩阵
  • $(s I-A)^{-1} B$被称为输入到状态的转移矩阵或转移函数

对于$y=C x+D u$,我们有:

所以

  • 输出项$C e^{t A} x(0)$是由初始状态决定
  • $H(s)=C(s I-A)^{-1} B+D$被称为转移函数或转移矩阵
  • $h(t)=C e^{t A} B+D \delta(t)$被称为脉冲矩阵或脉冲响应($\delta$为狄利克雷函数)

对于$0$初始状态,我们有:

其中*表示卷积。

解释:

  • $H_{i j}$是输入$u_j$到输出$y_i$的转移函数

脉冲矩阵

考虑脉冲矩阵$h(t)=C e^{t A} B+D \delta(t)$,如果$x(0)=0,y=h*u$,即

解释:

  • $h_{i j}(t)$为第$j$个输入到第$i$个输出的脉冲响应
  • $h_{i j}(t)$给出$y_i$,如果$u(t)=e_{j} \delta$
  • $h_{i j}(\tau)$展示出输出$i$如何依赖于$\tau$秒前的输入$j$
  • $i$是输出的索引;$j$是输入的索引;$\tau$是时间延迟的索引

阶梯矩阵

阶梯矩阵或阶梯响应矩阵为

解释:

  • $s_{i j}(t)$为第$j$个输入到第$i$个输出的阶梯响应
  • $s_{i j}(t)$给出$y_i$,如果$u=e_j, t\ge 0$

对于可逆矩阵$A$,我们有

本文标题:EE263 Lecture 14 Linear dynamical systems with inputs and outputs

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年06月26日 - 18:57:00

最后更新:2019年07月07日 - 11:31:57

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