EE263 Lecture 12 Eigenvectors and diagonalization

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这次回顾第十二讲,这一讲结束了指数函数求解线性动力系统,介绍了特征值和对角化。

采样连续系统

假设$\dot x = Ax$,在$t_{1} \leq t_{2} \leq \cdots$采样$x$,定义

那么

对于均匀采样:$t_{k+1}-t_{k}=h$,我们得到

这称为连续时间系统的离散化。

分段常数系统

考虑时间变化的LDS:$\dot x =A(t)x$,其中

并且

对于$t \in\left[t_{i}, t_{i+1}\right]$,我们有

(右边的矩阵被称为系统的状态转移矩阵,用$\Phi(t)$表示)

$x(t)$的定性行为

假设

那么

首先假设$A$的特征值$\lambda_i$不同,那么$x_i(t)$的形式如下

其中$\beta_{ij}$线性依赖于$x(0)$。

特征值决定了$x$的定性行为:

  • 特征值给出了出现在指数部分的元素
  • 实特征值$\lambda $对应解中的$e^{\lambda t}$项
  • 复特征值$\lambda =\sigma +j w$对应解中的$e^{\sigma t} \cos (\omega t+\phi)$项
  • $\Re \lambda_{j}$给出指数增长率($>0$),或者指数衰减率($<0$)
  • $\Im \lambda_{j}$给出振荡项的频率($\neq 0$)

接着假设$A$有重复特征值,特征值$\lambda_1, \ldots,\lambda_r$的重数分别为$n_{1}, \ldots, n_{r}$($n_{1}+\cdots+n_{r}=n$)

那么$x_i(t)$的形式为

其中$p_{ij}(t)$的多项式次数$<n_j$(和$x(0)$有线性关系)

稳定性

我们说系统$\dot{x}=A x$稳定,如果当$t\to \infty$时,$e^{t A} \to 0$。

这意味着:

  • 随着$t\to \infty $,状态$x(t)$收敛到$0$,无论状态$x(0)$
  • 随着$t\to \infty $,$\dot{x}=A x$的所有轨迹收敛到$0$

事实上:$\dot{x}=A x$稳定当且仅当$A$的所有特征值的实部小于$0$:

充分性显然,因为如果$\Re \lambda<0$,那么对任意多项式

必要性随后证明。

更一般的,$\max _{i} \Re \lambda_{i}$确定了$x(t)$最大渐近指数增长率。

Lecture 11 特征向量和对角化

特征向量和特征值

$\lambda \in \mathbb{C}$是$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$的特征值,如果

这等价于:

  • 存在非零$v\in \mathbb {C}^{n}$,使得$(\lambda I-A) v=0$,即

    任何满足上述条件的$v$称为$A$的特征向量(特征值$\lambda $对应的特征向量)

  • 存在非零$w\in \mathbb C^n$,使得$w^{T}(\lambda I-A)=0$,即

    任何满足上述条件的$w$称为$A$的左特征向量

  • 如果$v$是$A$的特征值$\lambda $对应的特征向量,那么对任意$\alpha \in \mathbb C, \alpha \neq 0$,$\alpha v$也是特征向量

  • 尽管$A$是实矩阵,特征值$\lambda $和特征向量$v$可能是复的

  • 如果$A$和$\lambda $是实的,我们总可以找到和$\lambda $有关的特征向量$v$:如果$A v=\lambda v$,$A\in \mathbb R^{n\times n}, \lambda \in \mathbb R, v\in \mathbb C^n$,那么

    所以$\Re v$和$\Im v$是实特征向量

  • 共轭对称:如果$A$是实矩阵,$v\in \mathbb C^n$是$\lambda \in \mathbb C$对应的特征向量,那么$\overline v$是$\overline \lambda $对应的特征向量。原因如下:对$Av =\lambda v$取共轭得到$\overline{A v}=\overline{\lambda v}$,所以

后续讨论中都假设$A$是实矩阵。

缩放解释

这里假设特征值$\lambda \in \mathbb R$。

如果$v$是特征向量,$A$作用在$v$上的效果很简单:根据$\lambda $缩放:

  • $\lambda \in \mathbb R,\lambda >0$:$v$和$Av$同向
  • $\lambda \in \mathbb R,\lambda <0$:$v$和$Av$反向
  • $\lambda \in \mathbb R,|\lambda |<1$:$Av$比$v$小(模长)
  • $\lambda \in \mathbb R,|\lambda |>1$:$Av$比$v$大(模长)

动力学解释

假设$Av=\lambda v, v\neq 0$。

如果$\dot{x}=A x$,并且$x(0)=v$,那么$x(t)=e^{\lambda t} v$,原因如下:

(因为$(t A)^{k} v=(\lambda t)^{k} v$)

  • 对$\lambda \in \mathbb C$,解是复数;到目前为止,假设$\lambda \in \mathbb R$
  • 如果初始状态是特征向量$v$,结果很简单——在$v$张成的直线上
  • 解$x(t)=e^{\lambda t} v$被称为系统$\dot{x}=A x$的mode(和特征值$\lambda$对应的)
  • 对于$\lambda \in \mathbb R,\lambda >0$,随着$t\uparrow$,mode收缩
  • 对于$\lambda \in \mathbb R,\lambda <0$,随着$t\uparrow$,mode扩张

不变集合

集合$S\subset \mathbb R^n$在$\dot x =Ax$下不变,如果只要$x(t)\in S$,就有$x(\tau )\in S,\tau \ge t$。

即,如果一个轨道进入$S$,那么一直在$S$中:

假设$A v=\lambda v, v \neq 0, \lambda \in \mathbb{R}$

  • $\{t v | t \in \mathbb{R}\}$不变
  • $\{t v | t>0\}$不变
  • 如果$\lambda <0$,$\{t v | 0 \leq t \leq a\}$不变

复特征向量

假设$A v=\lambda v, v \neq 0$,其中$\lambda$是复数。

对于$a\in \mathbb C$,(复)轨道$ae^{\lambda t}v$满足$\dot{x}=A x$,因此(实)轨道也满足该系统,即

其中

  • 轨道保持在平面$\operatorname{span}\left\{v_{\mathrm{re}}, v_{\mathrm{im}}\right\}$内
  • $\sigma$给出了对数增长/衰减率
  • $w$给出平面的旋转角速度

动力学解释:左特征向量

假设$w^{T} A=\lambda w^{T}, w \neq 0$,那么

即$w^T x$满足微分方程

因此

  • 尽管轨道$x$很复杂,$w^T x$很简单

  • 如果$\lambda \in \mathbb R, \lambda <0$,半平面$\left\{z | w^{T} z \leq a\right\}$保持不变,对于$a\ge 0$

  • 对于$\lambda=\sigma+j \omega \in \mathbb{C}$,$(\Re w)^{T} x$和$(\Im w)^{T} x$都有如下形式

总结

  • 如果右特征向量是初始状态,那么由此产生的运动很简单(即,保持在线或在平面内)
  • 左特征向量为任何初始状态提供简单的线性函数

本文标题:EE263 Lecture 12 Eigenvectors and diagonalization

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年06月21日 - 09:57:00

最后更新:2019年06月21日 - 10:57:48

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