18.065 Lecture 5

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这一讲的主题是Positive Definite and Semidefinite Matrices。

对称正定矩阵$S$

对称正定矩阵有如下几个等价判别条件:

  1. 所有的特征值$\lambda_i >0$
  2. 能量$x^T Sx >0, \forall x\neq 0$
  3. $S=A^TA$,其中$A$的列线性无关
  4. 主子式的行列式都大于$0$
  5. 高斯消元法的主元都大于$0$

例1

对于$S_1$,因为一阶主子式为$3 >0$,二阶主子式为$3\times 6- 4\times 4=2 >0$,所以由判别条件4可得$S_1$为正定矩阵;或者考虑判别条件2:

等号成立当且仅当

所以由判别条件2可得$S_1$正定。

对于$S_2$,因为一阶主子式$-3<0$,所以不满足条件4,即$S_2$不是正定矩阵。

例2

考虑如下几个命题:

  1. 如果$S,T$是正定矩阵,那么$S+T$也是正定矩阵
  2. 如果$S$是正定矩阵,那么$S^{-1}​$也是正定矩阵
  3. 如果$S$是正定矩阵,那么任取正交矩阵$Q$,$Q^TSQ$也是正定矩阵

命题1的证明:

$\forall x\neq 0 ​$,我们有

所以由判别条件2可得$S+T$也是正定矩阵。

命题2的证明:

如果$S$的特征值是$\lambda_i >0$,那么$S^{-1}$的特征是$\frac 1 {\lambda_i}>0$,所以由判别条件1可得$S^{-1}$也是正定矩阵。

命题3的证明:

由$Q$为正交矩阵可得

所以$Q^TSQ$和$S$相似,即特征值相同,因此由判别条件1可得$Q^TS Q$也正定矩阵。

对称半正定矩阵

对称正定矩阵有如下几个等价判别条件:

  1. 所有的特征值$\lambda_i \ge 0 $
  2. 能量$x^T Sx \ge 0 , \forall x\neq 0​$
  3. $S=A^TA$
  4. 主子式的行列式都大于等于$0​$
  5. 高斯消元法的主元都大于等于$0​$

例3

注意

所以$S$的一个特征值为$0$;又因为特征值之和等于矩阵的迹,因此另一个特征值为$3+\frac {16}3 =8\frac 1 3$。由判别条件1可得该矩阵为半正定矩阵。

例4

因为该矩阵的秩为$1$,所以有两个零特征值;又因为特征值之和等于矩阵的迹,因此另一个特征值为$3$。由判别条件1可得该矩阵为半正定矩阵。

另一方面,显然有

所以由判别条件3可得该矩阵为半正定矩阵。

习题

3

(a)

利用主子式的判别条件即可:

(b)

利用主子式的判别条件即可:

(c)

利用主子式的判别条件即可:

14

对比后不难发现:

显然

因此有两个特征值为$0$,第三个特征值为$24$,并且

最后计算主元,利用消元法得到

15

记第$i$个主子式为$D_i$,那么

所以

另一方面,做初等行变化可得

所以题目中的结论成立。

本文标题:18.065 Lecture 5

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年06月01日 - 09:13:00

最后更新:2019年06月01日 - 09:19:28

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