18.065 Lecture 4

课程主页:https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-065-matrix-methods-in-data-analysis-signal-processing-and-machine-learning-spring-2018/index.htm

这一讲的主题是Eigenvalues and Eigenvectors。

假设$A\in \mathbb R^{n\times n}$,后续讨论中都假设$A$有$n$个线性无关的特征向量。

基本内容

矩阵的特征值满足

那么不难得到

对于一般的向量$v$,$v$可以表示为

那么

如果记

那么$v_k$满足差分方程

对于微分方程

不难得出其解为

相似

我们称矩阵$A,B$相似,如果

注意到如果

那么

所以相似矩阵的特征值相同。

如果$B$可逆,那么有

所以$AB$和$BA$的特征值相同。

特征值

实矩阵的特征值可能为复数:

求解

得到

注意到我们有

上述事实对任意阶矩阵都成立。

对称矩阵

对称矩阵的特征值都为实数,并且特征向量正交,考虑如下例子:

求解

得到

对应的特征向量为

那么

对于$n$阶矩阵,如果相似于对角阵,即

那么

注意到实对称矩阵一定满足上述性质,并且

习题

2

得到

对应的特征向量为

由性质可得$A^{-1}$的特征值为

对应的特征向量为

1

因为

所以

因此$A$和$A^T$的特征值相同。

考虑上一题的例子,即

那么

其特征值为

对应的特征向量为

所以$A$和$A^T$的特征向量不同。

15

(a)如果

其特征值为

对应的特征向量为

所以

如果

其特征值为

对应的特征向量为

所以

(b)

本文标题:18.065 Lecture 4

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年05月27日 - 16:43:00

最后更新:2019年05月27日 - 16:52:28

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