EE263 Homework 1

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这次回顾EE263作业1。

2.1

(a)首先化简(1)可得

所以

其中

(b)首先给出$s_i(t),q_i(t)$的矩阵形式

对应代码如下:

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用来正常显示负号

G = np.array([[1, 0.2, 0.1], [0.1, 2, 0.1], [0.3, 0.1, 3]])
gamma = 3
alpha = 1.2
sigma = 0.01
p = np.random.rand(3).reshape(-1, 1)
N = 300

def f(G, gamma, alpha, sigma, p, N):
#数据维度
n = G.shape[0]

Lambda = np.diag(G).reshape(-1, 1)
Res = np.array([])
for i in range(N):
s = Lambda * p
q = sigma + G.dot(p) - Lambda * p
S = s / q
if i == 0:
Res = np.copy(S)
else:
Res = np.c_[Res, S]
#更新
p = alpha * gamma * ((G / Lambda).dot(p) - p) + \
alpha * gamma * sigma / Lambda

target = np.ones(N) * alpha * gamma
for i in range(n):
si = Res[i, :]
label = "第" + str(i+1) + "个分量"
plt.plot(si, label=label)
plt.plot(target, label="alpha * gamma")
plt.legend()
plt.show()

f(G, gamma, alpha, sigma, p, N)

png

png

png

利用该算法,最后每个分量都会收敛到$\alpha \gamma$。

2.2

因为

并且$M$可逆,所以

回顾动力系统的形式:

结合题目可得

2.3

回顾离散时间的线性动力系统形式:

MA模型:

那么

AR模型:

那么

ARMA模型:

那么

其中

那么模型为

2.4

定义$n$维标准单位列向量$u_i\in \mathbb R^n$:

那么

定义$m$维标准单位列向量$v_i\in \mathbb R^m$:

假设

那么

如果还存在$\tilde A \in \mathbb R^{m\times n}​$,使得

那么取$x=u_i,i=1,\dots, n$可得

因此

2.6

可得

因此

2.9

(a)不难看出

所以

(b)利用(a)不难得出

另一方面,直接考虑该问题,我们知道$x_1$到$z_1$的路线只有一条,所以$b_{11}=2^4=16$;$x_2$到$z_2$的路线只有一条,所以$b_{22}=1^4=1$;$x_2$到$z_1$没有路线,所以$b_{12}=0$;$x_1$到$y_2$的路线一共有$4$条,总权重为

2.12

首先考虑$(A^2)_{ij}$:

递推可得

补充题

1

(a)$\forall \alpha,\beta ,\alpha+\beta =1$:

(b)考虑

下面证明该函数为线性函数,首先证明

由定义,这等价于

最后一行由$f(x)​$的性质即可得到。

接着证明

事实上,我们有

结合以上两点,$g(x)$是线性函数,所以存在唯一的$A$,使得

现在记

那么

$A$的唯一性已经说明,现在说明$b$的唯一性即可。若存在$\tilde b$同样满足条件,那么

因此$b​$唯一。

本文标题:EE263 Homework 1

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年05月13日 - 17:27:00

最后更新:2019年05月23日 - 10:13:50

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/05/13/EE263 Homework 1/

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