CS205A Lecture 18 and 19 PDE

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这次回顾最后两讲,这部分简单介绍了PDE。

Chapter 14 偏微分方程

这一讲介绍PDE,即偏微分方程,为了方便后续讨论,这里给出如下记号,假设

那么

高维情形的记号类似。

动机

继续讨论之前来看一个例子:

例1

定义

我们的目的是

如果$f$最小化$E$,那么对任意$h$,我们有

现在考虑$E[f+\epsilon h]$

关于$\epsilon $微分可得

上述推导对任意$h$都成立,特别的,我们取$h(\vec x)=0,\vec x \in \partial \Omega$,那么利用分步积分可得

上式应该恒等于$0​$,所以

所以我们需要求解的PDE为

该方程称为拉普拉斯方程。

基本记号

这里假设

定义如下记号(以此类推)

根据边界条件分为以下三类:

  1. Dirichlet条件给出$\partial \Omega$上的$f(\vec x)$
  2. Neumann条件给出$\partial \Omega$上的$\nabla f(\vec x)$
  3. Mixed或Robin条件给出上述两者的结合

对方程建模

实际中讨论最多的是二阶PDE

定义梯度算子

所以上述方程可以改写为

  • 如果$A$是正定或者负定矩阵,那么该系统是椭圆型。
  • 如果$A$是半正定或者半负定矩阵,那么该系统是抛物型。
  • 如果$A$只存在一个特征值和其他特征值符号不同,那么该系统是双曲型。
  • 如果不满足上述条件,那么称该系统是超双曲型。

椭圆型PDE

考虑拉普拉斯方程:

抛物型PDE

双曲型PDE

将微分看成算子

由上一讲的思路,可以得到$f(x)$的二阶导数的近似公式

现在假设$f(x)$在$[0,1]$上有样本

那么利用上述公式可以得到

另一方面,考虑二元函数$f :[0,1] \times[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$,可以用类似的方法得到

求解

将之前的微分算子转化为矩阵,然后求解线性方程组即可,这里从略。

本文标题:CS205A Lecture 18 and 19 PDE

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年05月11日 - 13:00:00

最后更新:2019年05月11日 - 13:08:34

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/05/11/CS205A Lecture 18 PDE I Examples,theory; derivative operators/

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