CS205A Lecture 17 Time-stepping strategies

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这次回顾第十七讲,这一讲继续介绍常微分方程(ODE)。

梯形方法

首先回顾一些基本定义:

利用中点差分公式不难得到

利用梯形法可得

所以得到梯形方法计算公式

类似之前讨论,继续对$y’=ay,a<0$分析该算法稳定性,带入可得

因此

当满足下式的时候该算法稳定:

解得

因为$a<0,h>0$,所以该算法总是稳定的。

龙格库塔法

首先由积分定义可得:

如果使用梯形公式计算上述积分,那么得到

此即为之前推导的公式。注意我们有

代入上式得到

忽略$O(h^3)$的项得到Heun方法。依旧对$y’=ay,a<0$分析该算法稳定性:

如果满足如下条件,那么该算法稳定:

因为$h>0$,所以左边的不等号恒成立,右边的不等号成立当且仅当$h\le \frac 2 {|h|}$。

Heun方法是龙格库塔法的一个例子,龙格库塔法的思路是逼近$F({y}_k+lh)$,最著名的是四次龙格库塔法:

指数法

考虑如下方程

移项得到

利用ODE的方法(积分因子),左乘$e^{-At}​$,化简可得

所以

利用$Ae^{At}=e^{At}A$,对左边积分得到

推广上述方法不难得到

如果近似$G[\vec{y}(t)] \approx G\left[\vec{y}_{k}\right]​$,那么上式可以化为

所以

多元情形

Newmark Schemes见讲义,这里忽略。

本文标题:CS205A Lecture 17 Time-stepping strategies

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年05月07日 - 15:04:00

最后更新:2019年05月07日 - 15:06:49

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