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这次回顾第十六讲，这一讲介绍了常微分方程（ODE）。

Chapter 常微分方程

基本理论

ODE的基本形式如下：

我们讨论的ODE主要是显式的，定义如下：

定义 13.1 (显式ODE)

我们称ODE是显式的，如果能写成如下形式：

一个具体的例子为牛顿第二定律：

注意高阶的ODE可以通过增加变量转换为一阶的ODE，考虑$y^{\prime \prime}=F\left[t, y, y^{\prime}\right]$，因为

所以如果定义变量

那么原ODE可以化为

一般的， 对于如下显式OED，

我们可以将其转化为如下一阶ODE

其中

所以后面我们讨论的ODE形式如下：

例1

考虑如下ODE

利用上述方法可以将其转化为一阶ODE：

实际上，我们可以将显式ODE转换为更好的形式，即自治ODE——不依赖于时间$t​$。考虑$f^{\prime}(t)=F[t, f(t)]​$，定义

那么原ODE可以转化为

所以不失一般性，这里只要考虑一阶自治ODE，即

注意求解ODE需要初值条件，所以原问题中一般会给出$f(0)$。

存在唯一性

这里不详细介绍理论，直接给出如下定理：

如果$F$满足Lipschitz条件，即存在$L>0$，使得

那么ODE $f^{\prime}(t)=F[f(t)]​$的解存在唯一。

对方程建模

首先考虑最简单的情形，即$y’=F(y)$，其中

考虑线性ODE：

令

那么

所以不失一般性，我们假设$b=0$，即

不难看出该方程的解为

根据$a$的不同值可以分为三种情形：

  1. $a>0$：此时$y(t)$随着$t$增加而增加，此时称解不稳定。
  2. $a=0$：此时$y(t)$是常数，此时称解稳定。
  3. $a<0$：随着$t$增加，$y(t)$趋于$0$，此时称解稳定。

将上述内容推广至多维情形：

假设$\lambda_1,\ldots ,\lambda_k$是$A$的特征值，对应的特征向量为$\vec y_1 ,\ldots ,\vec y_k$，并且

那么ODE的解为

对于一般的ODE，即

假设$F$可微，那么使用泰勒展开可得

其中$J_F$为$F$的雅克比矩阵。

求解

这部分考虑一维的问题，我们的任务是，给定$y(t)$，计算$y(t+h)$。为了方便讨论，定义

前向欧拉

考虑泰勒展开：

所以

所以一步误差为$O(h^2)$，因为我们需要将区间划分为$O(\frac 1 h)$份，所以总误差为$O(h)$。该方法被称为前向欧拉法。

现在讨论其稳定性问题，假设$y’=ay,a<0$，那么

即

上式稳定当且仅当$|1+ah|\le 1$，又因为

所以前向欧拉法的稳定性依赖于步长$h$和$a$的关系。

后向欧拉

还是利用泰勒展开：

所以

注意我们是通过$y_k$求解$y_{k+1}$，该方法被称为后向欧拉法。

接着讨论其稳定性问题，假设$y’=ay,a<0$，那么

上式稳定当且仅当$\frac 1 {|1-ha|}\le 1​$，即

注意第二个条件显然满足，所以向后欧拉法总是稳定的。