CS205A HW3

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这次回顾作业3。

Problem 1

(a)由定义,我们有

所以

所以可以利用上式对$k=1,…,n$遍历求解。

(b)

下面验证其正交性:

(c)只要找到反射平面的方向向量$\vec v $即可,作图后不难发现,可以取

然后计算反射矩阵,不失一般性,这里假设

计算可得:

最后验证结论:

Problem 2

(a)因为$A$是半正定正交矩阵,所以存在正交矩阵$Q$和对角元全大于$0$的对角阵$\Lambda $,使得

那么

所以

(b)大部分矩阵的平方根不唯一,因为上述对角阵对角元的次序可以改变。

(c)注意到我们有

所以

(d)由定义,我们有

接着,对$(A+B)^k$展开,因为$AB=BA$,所以可以使用二项式定理,即

因此

(e)首先考虑$e^{At}$的求导运算,利用(c),我们有

因此

接着验证题目中解即可

所以结论成立。最后考虑$t\to \infty $时解的性质,注意我们有

因为

为对角矩阵,所以

也为对角矩阵,其对角元第$i$个元素为

因为$\lambda_i >0$,所以当$t\to \infty$时,上式趋于$0$,即

因此

Problem 3

(a)直接验证即可

所以结论成立。

(b)因为

利用第五讲的定义可得

(c)注意上式等价于

所以只要利用正交矩阵对$A$做列变换,使得最终结果为上三角阵即可,所以存在上述分解。

(d)注意上式等价于

所以只要利用正交矩阵对$A$做行变换,使得最终结果为下三角阵即可,所以存在上述分解。

本文标题:CS205A HW3

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年03月31日 - 11:00:00

最后更新:2019年03月31日 - 10:58:49

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