CS205A HW0

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这次回顾作业0,主要是复习线性代数。

Problem 1

$\forall f,g \in C^1 (\mathbb R), \forall \alpha, \beta \in \mathbb R$,我们有$\alpha f+ \beta g$连续可导,所以$\alpha f + \beta g \in C^1 (\mathbb R)$,因此$C^1 (\mathbb R)$是线性空间。

考虑$C^1 (\mathbb R)$的子集多项式全体,显然全体多项式的维度为$\infty$,因此$C^1 (\mathbb R)$的维度为$\infty$。

Problem 2

Problem 3

注意到原问题等价于最小化

对上式关于$\vec x $求梯度可得

令上式为$0$可得

Problem 4

注意到原问题等价于最小化

约束条件等价于

根据该条件构造拉格朗日乘子:

求梯度可得

令上式为$0$可得

将$(1),(2)$带入目标函数可得

所以接下来只要求出$\lambda $即可,对等式$(1)$稍作变形可得

由约束条件可知$\vec x\neq 0$,所以上述线性方程有非零解,因此

解该$n$次方程即可求出$\lambda_1,…,\lambda _n$,记最小的正根为$\lambda _i$,最大的正根为$\lambda _j $,所以

Problem 5

注意约束条件等价于

根据该条件构造拉格朗日乘子:

求梯度可得

令上式为$0$可得

将$\vec x = \frac 1 \lambda \vec a $带入可得

所以

本文标题:CS205A HW0

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年03月24日 - 00:43:00

最后更新:2019年03月24日 - 00:44:16

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