高等概率论第十三讲

记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》

本讲介绍了矩收敛,$L^r$收敛,依分布收敛以及概率测度的弱收敛。

3.矩收敛与$L^r$收敛

1.$L^r$收敛

$L^r$收敛的定义

定义:

推论(1)

证:$\forall \epsilon >0$

推论(2)

证明之前先介绍Cr不等式以及Minkowski不等式。

引理 1 :Cr不等式

$X_1,…,X_n$是随机变量,$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$,那么

证明:令$\xi $是一个随机变量,以相同概率取值于$a_1,…,a_n$,那么

下面证明

如果$r>1$,取$f(x)=x^r$,利用Jenson不等式可得

如果$0<r\le 1$,注意到$a_i$全为$0$时结论显然,否则利用$x \le x^r (0<x\le 1)$可得

关于$k$累加可得

综上

现在取$a_i =X_i$,带入上述不等式可得

两边取期望可得

注意到

从而Cr不等式成立。

引理 2 :Minkowski不等式

当$r\ge 1$时,在$L^r$中定义$||x||_r = (\mathbb E|x|^r)^{\frac 1 r}$,那么$||.||_r$是范数,特别地

因此可以在$L^r$中定义距离

证:$r=1$时即为三角不等式,显然成立。否则注意到有如下事实

回顾Holder不等式

这里取$p=r,q=\frac r {r-1}$可得

如果$\mathbb E|x+y|^{r} < \infty$,那么两边同除$(\mathbb E|x+y|^{r})^{1 - \frac {1} r}$即可得到:

如果$\mathbb E|x+y|^{r} = \infty$,那么$(\mathbb E|x|^r)^{\frac 1 r}$和$(\mathbb E|y|^r)^{\frac 1 r}$至少有一个为正无穷,否则由Cr不等式可得

从而产生矛盾。因此$\mathbb E|x+y|^{r} = \infty$时不等号两边都为$\infty$,结论也成立。

接下来证明推论2,首先考虑$r\le 1$的情形,应用Cr不等式$n=2$的情形:

所以

令$n\to \infty$可得

接下来考虑$r>1$的情形,应用Minkowski不等式可得

取上极限可得

另一方面

取下极限可得

注意这里使用了如下事实

结合两个方向的不等式可得

推论(3)

考虑空间$L^{\infty}$(即$r=\infty$时的$L^r$)

在其上定义

$||X||_{\infty}$称为$X$的本性上确界,也满足

如果$0<r <r’<\infty$,那么

证明见习题。

进一步$r>0$时,

证明:由定义可知$|X| \le ||X||_{\infty}$,所以

2.$L^r$收敛与矩收敛

定理

证明之前给出如下引理:

引理 3

证明见习题。

接下来利用引理3证明定理。

证明:$(1)\Rightarrow (2)$已证

$(2)\Rightarrow (1)$需证$\varlimsup _{n\to \infty} \mathbb E|X_n-X|^r =0$,因为$X_n \overset{P}\to X$,所以可取子列$\{n_k\}$使得

注意这显然是可以做到的,因为由上极限的定义可知存在$\{n_k’\}$使得

又由于$X_n \overset{P}\to X$,所以$X_{n_k’}\overset{P}\to X$,我们在$\{X_{n_k’}\}$取子列$\{n_k\}$使得$X_{n_k}\overset{a.s}\to X$即可。

由Cr不等式可知

因为$X ,X_{n_k} \in L^r$,所以$U_{n_k}$可积。又由$X_{n_k}\overset{a.s}\to X$可知,$U_{n_k} \overset{a.s}\to 2C_r|X|^r\triangleq U$,$\mathbb E U_{n_k} \to 2 C_r \mathbb E |X|^r = \mathbb E U$

从而由引理3可知

最后给出如下定理:

定理 7.3.2 (推广的勒贝格控制收敛定理)

证:取子列$\{n_k\}$满足

因为$|X_{n_k}-X | \le 2|Y|$,由控制收敛定理可得

4.依分布收敛与概率测度的弱收敛

1.依分布收敛

依分布收敛的定义

推论

证明:只需证$F_X \equiv F_Y$,注意到

又由于$F_X,F_Y$单调,所以他们的间断点可数,因此$\mathcal C(F_X) \bigcap \mathcal C(F_Y)$在$\mathbb R^d$中稠,从而$\forall x_0 \in \mathbb R^d$,可取$x_n \in \mathcal C(F_X) \bigcap \mathcal C(F_Y)$,使得$F_X(x_n)\to F_X(x_0),F_Y(x_n)\to F_X(x_0)$,所以

现在给出如下问题,如果$X_n \overset d \to X$,$Y_n \overset d \to Y$,那么能否推出$X_n \pm Y_n\overset d \to X\pm Y$?

回答是否定的,考虑如下例子

那么$X_n+Y_n=0$,但是$X+Y \sim \mathcal N(0, 2)$

定理 6.4.1

证:$\forall \epsilon >0,\forall x$

令$n\to \infty$可得

再令$\epsilon \to 0$可得

同理可证$\varliminf_{n\to \infty} F_n(x) \ge F(x)$,这部分参考习题。

淡收敛与弱收敛的定义

定理 6.4.2

习题

习题1

证明:令$Y= X^r$,则原不等式等价于

因为$\frac{r’}{r} >1$,所以取$p=\frac{r’}{r} ,q$,使得

从而原不等式等价于

此即为Holder不等式,所以原不等式成立。

习题2

证明:因为$U_n \overset{a.s} \to U$,所以$\exists N_0$,使得$n> N_0$时,

那么

注意到$U_n$可积,从而$\mathbb E[U_n]$有限,而$|U|\le |U_n|+1$,$\mathbb E[U_n]\to \mathbb E[U]$,所以

因为$U_1,…U_{N_0},U$可积,所以$V$可积,从而$X_n$被可积函数控制,由控制收敛定理可得

习题3

证明:$\forall x \in \mathcal C(F),$

令$n\to \infty$可得

因为$x$为连续点,所以令$\epsilon \to 0$可得

习题4

证明:只需证$\Rightarrow$,注意到

所以

令$n\to \infty$可得

所以

习题5

(课本P223/8.3/4)

证明:

所以$X\in L^r(\mathbb P)$。因为

所以$\forall \epsilon >0, \exists N $,使得$n> N$时,

由$\epsilon$的任意性可得

本文标题:高等概率论第十三讲

文章作者:Doraemonzzz

发布时间:2019年01月31日 - 21:56:50

最后更新:2019年02月12日 - 21:11:23

原始链接:http://doraemonzzz.com/2019/01/31/高等概率论第十三讲/

许可协议: 署名-非商业性使用-禁止演绎 4.0 国际 转载请保留原文链接及作者。