台大实分析单元 3 测度 1

这一讲将讨论测度以及可测性,介绍了非常重要的$\lambda -\pi$系方法。

Unit 2 Measurability

2.1 Families of sets and set functions

首先给出以下定义:

备注:这一章我们只考虑值域为正实数以及$\infty$的集合函数,即:

对于空集还做如下要求:

单调性:

连续性:

准测度(premeasure):

$\pi$系:

下面看几个$\pi$系的例子

例子:

(i)$\Omega = \mathbb R$,子集族$\{ (-\infty , a] :a\in R\}$是一个$\pi$系

(ii)$\Omega = \mathbb R$,子集族$\{ (a , b) :-\infty < a\le b <\infty \}$是一个$\pi$系

这两个例子直接根据定义验证即可。

代数:

注意由德摩根律,(ii)(iii)可以推出:

$\sigma​$代数:

同理由德摩根律,可列交也属于$\Sigma$

$\lambda$系:

注意如果$A,B \in \mathscr L, A{\subset} B,\mathscr L$是$\lambda$系,那么$B\setminus A = B \bigcap A^C = (B^C\bigcup A)^C \in \mathscr L$

可以看到$\lambda$系和$\sigma$代数的区别在于第(iii)条,$\sigma$代数的要求更强一些,事实上,有如下引理:

Lemma 1

证明:

不妨设该子集族为$P$

$\Rightarrow$:

因为$P$为$\sigma$代数,所以任取$A,B\in P$,由德摩根律以及$\sigma$代数的性质可得:

从而$P​$为$\pi​$系,显然$P​$为$\lambda​$系,所以结论得证。

$\Leftarrow$:

只要证$P$关于可列并封闭即可,任取$\{A_n\}\in P$,定义$B_n =A_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n-1}A_k$,那么$B_n$为不交序列,将$B_n$换一个形式写:

由于$P$为$\lambda$系,所以$A_k^C\in P$;又由于$P $为$\pi​$系,所以

因为$\{B_k\}$为$P$中不交序列,由$\lambda$系的第三条性质可知:

从而$P$为$\sigma$代数。

下面给出一个判别$\sigma$代数的重要定理,在给出定理之前,先给出如下记号:

备注:

这里来解释上述记号,是因为$\Omega$的幂集必然为$\sigma$代数以及$\lambda$系,所以包含$\Phi$的$\lambda$系以及$\sigma$代数必然存在,对这些$\lambda$系和$\sigma$代数分别取交集即可。由备注可知,取交集之后的集合仍然为$\lambda$系和$\sigma$代数,从而上述记号是有意义的。

Theorem 1 ($\lambda -\pi$ Theorem)

证明:

由于$\sigma$代数一定是$\lambda$系,所以包含$\mathscr P$的$\sigma$代数族一定是包含$\mathscr P$的$\lambda$系族的一部分,从而

所以我们只要证明

令$\mathscr L_0 = \lambda(\mathscr P)$,如果$\mathscr L_0 $是一个$\pi$系(注意$\mathscr L_0$为$\lambda$系),那么$\mathscr L_0 $是一个$\sigma$代数,从而$\mathscr L_0 = \lambda(\mathscr P) \supset \sigma(\mathscr P)$,因此

所以我们的目标是证明$\mathscr L_0 $是一个$\pi$系。

对于$A \in \mathscr L_0$,令

要证明$\mathscr L_0 $是一个$\pi$系,只要证明对于所有的$A\in \mathscr L_0$,$\mathscr L_A \supset \mathscr L_0 $

下面先证明$\mathscr L_A$是$\lambda$系,

先验证(i)

接着验证(ii)

最后验证(iii)

综上,$\mathscr L_A$为$\lambda$系。

如果$B\in \mathscr P$,由于$ \mathscr P$为$\pi$系,所以$\forall C \in \mathscr P$,$B\bigcap C \in \mathscr P$,从而

由于$\mathscr L _B$为$\lambda$系,$\mathscr L _0$为包含$\mathscr P$的最小$\lambda$系,因此

所以

因为$\mathscr L _A​$为$\lambda​$系,$\mathscr L _0​$为包含$\mathscr P​$的 最小$\lambda​$系,所以

从而命题得证。

最后给出如下定义: