台大实分析单元 2 可加性

这一讲的内容是有关可加性。

先给出一个重要定义

$$对于a\in \mathbb R，按如下方式定义a^+,a^-\\ a^+=\begin{cases} a, &a>0\\ 0, & a\le 0 \end{cases} , a^-=\begin{cases} -a, &a<0\\ 0, & a\ge 0 \end{cases}$$

从上述定义中可以看出如下关系：

$$a = a^+ - a^-,|a| = a^++a^-$$

现在给出和柯西收敛定理对应的定理。

Theorem 3(Cauthy)

$$\lbrace C_\alpha\rbrace 是可加的当且仅当\forall \epsilon >0, \exists A \in F(I),\\ s.t. 当B \in F(I), B \cap A =\varnothing时，|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha|<\epsilon$$

证明：

充分性：

取$\epsilon =1$，那么存在$A \in F(I)$，当$B \in F(I), B \cap A =\varnothing$时，$|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha|<1$。

现在回顾$\alpha^{+}$的定义

$$a^+=\begin{cases} a, &a>0\\ 0, & a\le 0 \end{cases}$$

所以

$$|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha^{+}| = |\sum_{\alpha \in B'} C_\alpha| \\ B' \subset B$$

又因为$B \cap A =\varnothing,B’ \subset B$，所以$B’ \cap A =\varnothing$，从而

$$\sum_{\alpha \in B} C_\alpha^{+} =|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha^{+}| = |\sum_{\alpha \in B'} C_\alpha| <1$$

现在任取$B \in F (I),(B\setminus A) \cap A = \varnothing$（注意这个$B$不是上述的$B$），所以可以利用上述结论

$$\begin{aligned} \sum_{\alpha \in B}C_{\alpha}^+ &=\sum_{\alpha \in B\cap A}C_{\alpha}^+ + \sum_{\alpha \in B\setminus A}C_{\alpha}^+ \\ &< \sum_{\alpha \in B\cap A}C_{\alpha}^+ +1\\ &\le \sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}^+ +1 \end{aligned}$$

注意$ \sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}^+ +1$是一个固定的数，从而

$$\lbrace \sum_{\alpha \in B}C_{\alpha}^+:B \in F(I) \rbrace \le \sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}^+ +1 <\infty$$

由Theorem 2可得$\lbrace C_{\alpha} ^+\rbrace _{\alpha \in I}$可加，同理$\lbrace C_{\alpha} ^-\rbrace $也可加（考虑$\lbrace -C_{\alpha} \rbrace _{\alpha \in I}$这个集合即可），由Theorem 1，$\lbrace C_{\alpha} \rbrace = \lbrace C_{\alpha} ^+\rbrace -\lbrace C_{\alpha} ^-\rbrace $也可加。

必要性：

因为$\lbrace C_\alpha\rbrace $可加，所以设其和为$l$，所以

$$任取\frac \epsilon 2>0，存在 A\in F(I)，如果B\in F(I)并且A\subset B， 那么|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l| <\frac \epsilon 2$$

现在任取$B\in F(I), B\cap A =\varnothing$，那么$A \subset B\cup A $，从而

$$|\sum_{\alpha \in B\cup A} C_\alpha -l| <\frac \epsilon 2$$

又因为$A \subset A$，所以

$$|\sum_{\alpha \in A} C_\alpha -l| <\frac \epsilon 2$$

注意由于$B\cap A = \varnothing$，所以$B= B\cup A \setminus A$，从而

$$\begin{aligned} |\sum_{\alpha \in B} C_\alpha | &=|\sum_{\alpha \in B\cup A } C_\alpha - \sum_{\alpha \in A } C_\alpha | \\ &=|\sum_{\alpha \in B\cup A } C_\alpha -l - (\sum_{\alpha \in A } C_\alpha -l) | \\ &\le |\sum_{\alpha \in B\cup A } C_\alpha -l |+| \sum_{\alpha \in A } C_\alpha -l | \\ & < \frac \epsilon 2 +\frac \epsilon 2 \\ &= \epsilon \end{aligned}$$

从而必要性得证。

这个定理证明过程告诉可以利用$a = a^+ -a^-$将一些问题转化为只针对正数情形来证明。

1.2 Double series

$I = \mathbb N \times \mathbb N = \lbrace (i,j) : i\in \mathbb N, j\in \mathbb N\rbrace $，考虑$\lbrace C_{(i,j)} : (i,j)\in \mathbb N \times \mathbb N\rbrace $，简写为$C_{ij}$，当$\lbrace C_{ij}\rbrace $的可加性有疑问时，$\lbrace C_{ij}\rbrace $被称为二重级数，并用$\sum C_{ij}$表示。对于可加性给出如下定理：

Theorem 4

$$如果二重级数\lbrace C_{ij}\rbrace 可加，那么\\ \sum_{(i,j)\in I}C_{ij} = \underset {m,n\to \infty}\lim \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m C_{ij} =\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty} C_{ij} =\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} C_{ij}$$

证明：

令$l = \sum_{(i,j)} C_{ij}$，所以$\forall \epsilon >0$，存在$A \in F(I)$，使得当$B\in F(I)$且$A \subset B$时

$$|\sum_{(i,j) \in B} C_{ij} -l| <\epsilon$$

令$N =\max \lbrace i\vee j : (i,j) \in A \rbrace $，其中$i\vee j$表示$i,j$中的较大者。如果$m,n\ge N$，那么

$$A\subset \lbrace (i,j): 1\le i \le m, 1\le j \le n\rbrace$$

所以

$$| \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m C_{ij} - l| <\epsilon$$

从而

$$\underset {m,n\to \infty}\lim \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m C_{ij} = l$$

既然$C_{ij} =C_{ij}^{+}-C_{ij}^-$，所以我们可以假设$C_{ij} \ge 0$，从而

$$l =\underset{n,m\ge 1} \sup \lbrace \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m C_{ij} \rbrace \\ (这个事实可以从单调有界数列的极限为其上确界来理解，这里不再多说)$$

由定义可知

$$l \ge \lim_{m\to \infty} \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m C_{ij} = \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{\infty} C_{ij}(\forall n >0)$$

由$n$的任意性可得

$$l \ge \sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty} C_{ij}$$

在另一方面，

$$\begin{aligned} l &=\underset{n,m\ge 1} \sup \lbrace \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m C_{ij} \rbrace \\ &\le \underset{n \ge 1} \sup \lbrace \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{\infty} C_{ij} \rbrace \\ & = \lim_{n\to \infty}\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{\infty} C_{ij} \\ &=\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty} C_{ij} \end{aligned}$$

从而

$$l = \sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty} C_{ij}$$

同理

$$l =\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} C_{ij}$$

对于正数集合$\lbrace C_{ij}\rbrace $，如果$\lbrace C_{ij}\rbrace $不可加，那么$\sum_{(i,j)\in I}C_{ij} =\infty$，此时

$$\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty} C_{ij} =\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} C_{ij} = \infty$$

从而上述定理给出以下事实

Remark:

$$如果\forall (i,j)\in N \times N,C_{ij}\ge 0，那么\\ \underset {m,n\to \infty}\lim \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m C_{ij} =\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty} C_{ij} =\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} C_{ij}永远成立$$

1.3 Coin tossing

现在考虑投硬币的问题，用$H$表示硬币正面，$T$表示硬币反面，我们用如下方式表达投硬币的试验

$$B(p,q),p,q\ge 0,p+q = 1\\ P(H) = p,P(T) =q\\$$

$B(p,q)$被称为伯努利试验，特殊的，$B(\frac 1 2,\frac 1 2)$表示硬币是公平的。

我们现在考虑如何用数学模型表示一系列投硬币的试验，为了方便起见，用$1$表示$H$，$0$表示$T$，那么投硬币的结果可以用无穷的$0,1$序列表示，令

$$\Omega = \lbrace 0,1\rbrace ^{\infty} = \lbrace w=(w_k),w_k =0或1\rbrace \\ (w_k) = (w_1,w_2,...,w_k,...)$$

由概率论知识可知，$\Omega$中元素被称为样本点，$\Omega$中的子集被称为事件，任取$n\in \mathbb N$，令

$$\Omega_n = \lbrace 0,1\rbrace ^{n} = \lbrace (\epsilon_1,...,\epsilon_n) : \epsilon_j \in \lbrace 0,1\rbrace ,j =1,...n\rbrace$$

对于$ (\epsilon_1,…,\epsilon_n) \in \Omega_n$，称集合

$$E(\epsilon_1,...,\epsilon_n) =\lbrace (w_k):w_1=\epsilon_1,...,w_n = \epsilon_n\rbrace$$

为elementary cylinder of rank n，由独立性可知

$$P(E(\epsilon_1,...,\epsilon_n) ) =\frac 1 {2^n}$$

考虑几个例子，

$$当n=1时,\Omega = E(0)\cup E(1)\\ 当n=2时,\Omega = E(0,0)\cup E(0,1) \cup E(1,0)\cup E(1,1)$$

我们称elementary cylinder的有限并为$\Omega$中的cylinder。如果$Z$是$\Omega$中的cylinder，那么

$$Z = \cup \lbrace E(\epsilon_1,...,\epsilon_n) : (\epsilon_1,...,\epsilon_n) \in H \rbrace \\ H \subset \underbrace{\lbrace 0,1\rbrace \times ...\times \lbrace 0,1\rbrace }_{n个}$$

我们来看一下这个定义，由于

$$E(0) = E(0,0)\cup E(0,1) \\ E(1) = E(1,0)\cup E(1,1)$$

所以我们可以把每个长度小于$n$的elementary cylinder写成长度为$n$的elementary cylinder。现在$Z$是$\Omega$中的cylinder，令其elementary cylinder中长度最长者为$n$，所以可以把每个elementary cylinder写为长度为$n$的elementary cylinder，这也就是这个定义的具体含义。

比较自然地，我们定义概率为：

$$P(Z)=(\frac 1 2 )^n \times \#H$$

第一个问题是：$P(Z)$是否是定义良好(well defined)？

之所以提出这个问题，是因为我们可以把每个elementary cylinder的拆开，所以$H$的定义不唯一，问题的意思是$P(Z)$和$H$的表示是否有关？

这个回答是肯定的，即$P(Z)$是定义良好的，下面来证明这个事实。

证明：

$$如果Z = \cup \lbrace E(\epsilon_1,...,\epsilon_n) : (\epsilon_1,...,\epsilon_n) \in H \rbrace ,H \subset \underbrace{\lbrace 0,1\rbrace \times ...\times \lbrace 0,1\rbrace }_{n个}\\ Z = \cup \lbrace E(\epsilon_1,...,\epsilon_m) : (\epsilon_1,...,\epsilon_m) \in H' \rbrace ,H' \subset \underbrace{\lbrace 0,1\rbrace \times ...\times \lbrace 0,1\rbrace }_{m个}\\ m>n$$

那么，由于长度为$n$的elementary cylinder拆成两个长度为$n+1$的elementary cylinder，所以

$$\#H' = \#H \times 2^{m-n}$$

从而

$$P(Z) = (\frac 1 2 )^n \times \#H \\ P'(Z) = (\frac 1 2 )^m \times \#H' = (\frac 1 2 )^m \times \#H \times 2^{m-n} = (\frac 1 2 )^n \times \#H =P(Z)$$

令$Q$是$\Omega$中所有cylinder构成的集合（我们将$\varnothing$也加入$Q$），那么$Q$满足如下三个性质：

• $\Omega \in Q, \varnothing \in Q$
• 如果$Z \in Q$，那么$Z^{c} \in Q$
• 如果$Z_1,Z_2\in Q$，那么$Z_1\cup Z_2 \in Q$

$P$有如下性质：

• $P(\varnothing) = 0,P(\Omega)=1$
• $0\le P(Z)\le 1$
• 如果$Z_1\cap Z_2 =\varnothing$，那么$P(Z_1\cup Z_2)= P(Z_1)+P(Z_2)$

我们定义的$P$有概率的一些性质，但是很多事件都不在$Q$中，考虑如下事件：

$$取w = (w_k) \in \Omega，对于j=1,2,...,令d_j(w) =w_j，那么\\ \sum_{j=1}^n d_j(w) = \sum_{j=1}^n w_j = \# 前n次试验中硬币朝上的个数\\ 令E= \lbrace w\in W: \lim_{n\to \infty} \frac{\sum_{j=1}^n d_j(w) }{n} =\frac 1 2 \rbrace$$

那么$E$不是cylinder，这是因为cylinder可以写成长度任意长的elementary cylinder的并，而$E$无法写成这种形式（可以利用反证法，如果$E$是elementary cylinder的并，那么它可以无限拆分，所以第$n$位之后全是$0$的序列属于$E$，这显然是矛盾的）。

现在的问题是，我们在$Q$这种小集合上定义的概率，能否扩充到更多的集合上去（至少包含上述$E$）？这个是我们后面要研究的问题。