台大实分析单元 2 可加性

这一讲的内容是有关可加性。

先给出一个重要定义

从上述定义中可以看出如下关系:

现在给出和柯西收敛定理对应的定理。

Theorem 3(Cauthy)

证明:

充分性:

取$\epsilon =1$,那么存在$A \in F(I)$,当$B \in F(I), B \cap A =\varnothing$时,$|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha|<1$。

现在回顾$\alpha^{+}$的定义

所以

又因为$B \cap A =\varnothing,B’ \subset B$,所以$B’ \cap A =\varnothing$,从而

现在任取$B \in F (I),(B\setminus A) \cap A = \varnothing$(注意这个$B$不是上述的$B$),所以可以利用上述结论

注意$ \sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}^+ +1$是一个固定的数,从而

由Theorem 2可得$\{ C_{\alpha} ^+\}_{\alpha \in I}$可加,同理$\{ C_{\alpha} ^-\}$也可加(考虑$\{ -C_{\alpha} \}_{\alpha \in I}$这个集合即可),由Theorem 1,$\{ C_{\alpha} \} = \{ C_{\alpha} ^+\} -\{ C_{\alpha} ^-\}$也可加。

必要性:

因为$\{C_\alpha\}$可加,所以设其和为$l$,所以

现在任取$B\in F(I), B\cap A =\varnothing$,那么$A \subset B\cup A $,从而

又因为$A \subset A​$,所以

注意由于$B\cap A = \varnothing$,所以$B= B\cup A \setminus A$,从而

从而必要性得证。

这个定理证明过程告诉可以利用$a = a^+ -a^-$将一些问题转化为只针对正数情形来证明。

1.2 Double series

$I = \mathbb N \times \mathbb N = \{(i,j) : i\in \mathbb N, j\in \mathbb N\}$,考虑$\{C_{(i,j)} : (i,j)\in \mathbb N \times \mathbb N\}$,简写为$C_{ij}$,当$\{C_{ij}\}$的可加性有疑问时,$\{C_{ij}\}$被称为二重级数,并用$\sum C_{ij}$表示。对于可加性给出如下定理:

Theorem 4

证明:

令$l = \sum_{(i,j)} C_{ij}$,所以$\forall \epsilon >0$,存在$A \in F(I)$,使得当$B\in F(I)$且$A \subset B$时

令$N =\max \{ i\vee j : (i,j) \in A \}$,其中$i\vee j$表示$i,j$中的较大者。如果$m,n\ge N$,那么

所以

从而

既然$C_{ij} =C_{ij}^{+}-C_{ij}^-$,所以我们可以假设$C_{ij} \ge 0$,从而

由定义可知

由$n$的任意性可得

在另一方面,

从而

同理

对于正数集合$\{C_{ij}\}$,如果$\{C_{ij}\}$不可加,那么$\sum_{(i,j)\in I}C_{ij} =\infty$,此时

从而上述定理给出以下事实

Remark:

1.3 Coin tossing

现在考虑投硬币的问题,用$H$表示硬币正面,$T$表示硬币反面,我们用如下方式表达投硬币的试验

$B(p,q)$被称为伯努利试验,特殊的,$B(\frac 1 2,\frac 1 2)$表示硬币是公平的。

我们现在考虑如何用数学模型表示一系列投硬币的试验,为了方便起见,用$1$表示$H$,$0$表示$T$,那么投硬币的结果可以用无穷的$0,1$序列表示,令

由概率论知识可知,$\Omega$中元素被称为样本点,$\Omega$中的子集被称为事件,任取$n\in \mathbb N$,令

对于$ (\epsilon_1,…,\epsilon_n) \in \Omega_n$,称集合

elementary cylinder of rank n,由独立性可知

考虑几个例子,

我们称elementary cylinder的有限并为$\Omega$中的cylinder。如果$Z$是$\Omega$中的cylinder,那么

我们来看一下这个定义,由于

所以我们可以把每个长度小于$n$的elementary cylinder写成长度为$n$的elementary cylinder。现在$Z$是$\Omega$中的cylinder,令其elementary cylinder中长度最长者为$n$,所以可以把每个elementary cylinder写为长度为$n$的elementary cylinder,这也就是这个定义的具体含义。

比较自然地,我们定义概率为:

第一个问题是:$P(Z)$是否是定义良好(well defined)?

之所以提出这个问题,是因为我们可以把每个elementary cylinder的拆开,所以$H$的定义不唯一,问题的意思是$P(Z)$和$H$的表示是否有关?

这个回答是肯定的,即$P(Z)$是定义良好的,下面来证明这个事实。

证明:

那么,由于长度为$n$的elementary cylinder拆成两个长度为$n+1$的elementary cylinder,所以

从而

令$Q$是$\Omega$中所有cylinder构成的集合(我们将$\varnothing$也加入$Q$),那么$Q$满足如下三个性质:

  • $\Omega \in Q, \varnothing \in Q\\$
  • 如果$Z \in Q$,那么$Z^{c} \in Q$
  • 如果$Z_1,Z_2\in Q$,那么$Z_1\cup Z_2 \in Q$

$P$有如下性质:

  • $P(\varnothing) = 0,P(\Omega)=1$
  • $0\le P(Z)\le 1$
  • 如果$Z_1\cap Z_2 =\varnothing$,那么$P(Z_1\cup Z_2)= P(Z_1)+P(Z_2)$

我们定义的$P​$有概率的一些性质,但是很多事件都不在$Q​$中,考虑如下事件:

那么$E$不是cylinder,这是因为cylinder可以写成长度任意长的elementary cylinder的并,而$E$无法写成这种形式(可以利用反证法,如果$E$是elementary cylinder的并,那么它可以无限拆分,所以第$n$位之后全是$0$的序列属于$E$,这显然是矛盾的)。

现在的问题是,我们在$Q$这种小集合上定义的概率,能否扩充到更多的集合上去(至少包含上述$E$)?这个是我们后面要研究的问题。