台大实分析单元 1 Introduction

本科的时候也学习过实分析,但那时候学的比较差,现在发现这门课真的很重要,所以决定重新学习一遍,网上找了一些资料后发现台大劉豐哲老师的课程不错,决定把这门课自学完,整理一些笔记,记录作业的解答,这部分是第一讲的内容。

附上课程地址:

http://ocw.aca.ntu.edu.tw/ntu-ocw/ocw/cou/105S109/36

Unit 1. Introduction and Examples

1.1 Summability of systems of real numbers

我们先考虑求和的问题,考虑莱布尼茨级数

我们知道这个级数收敛,但是这个级数按照不同的顺序相加得到的结果不同,这是一种不太好的性质,所以老师重新定义一种求和式,在这种定义下的收敛和求和顺序无关(相当于绝对收敛)。

考虑一个集合$\{C _\alpha \}_{\alpha \in I}$,$I$是一个指标集,后面为了叙述方便,将$\{C _\alpha \}_{\alpha \in I}$简写为$\{C _\alpha \}$,在叙述之前,给出记号的含义:

现在给出如下定义:

Remark:

证明:

利用反证法,假设不唯一,那么存在$l_1\neq l_2$也满足上述性质,那么由定义,任取$\epsilon >0$,存在$A_1 ,A_2 \in F(I)$,使得如果$B_1,B_2\in F(I)$,并且$A_1\subset B_1,A_2 \subset B_2$,那么

现在取$A =A_1 \bigcup A_2 \in F(I)$,那么当$B\in F(I),A\subset B$时,$A_1 \subset A \subset B ,A_2 \subset A \subset B$,所以我们有

由$\epsilon$为任意正数可得$l_1=l_2$,唯一性得证。

接着我们来看一个例子:

例1

我们知道对于一般的集合$I​$不一定可列,这个例子的含义是当集合可列时,上述定义的可加就变成了绝对收敛,我们来证明这个结论。

证明:

充分性:

假设$\sum_{\alpha = 1}^{\infty} C_{\alpha}$绝对收敛,设$l = \sum_{\alpha = 1}^{\infty} C_{\alpha}$,由收敛的定义我们可知,任取$\epsilon_0>0$,存在$n_0 >0$,当$n> n_0$时,

又由绝对收敛的定义我们可知,任取$\epsilon_1> 0$,存在$n_1 >0$,当$n > n_1$时,

现在取$n_2 = \max\{n_0,n_1\},\epsilon = \max \{ \epsilon_0,\epsilon_1\}$,那么当$n>n_2$时,上述两个条件均满足,从而

令集合$A= \{1,…,n_2+1\}$,那么$n_2+1 >n_2$,从而$|\sum_{A} C_{\alpha} - l| =|\sum_{\alpha = 1}^{n_2+1} C_{\alpha} - l|<\frac \epsilon 2$;任取$A\subset B$,对于任意$b\in B\setminus A$,$b > n_2$,所以可以利用上面的条件,可得:

这说明$\{C _\alpha \}$可加,充分性得证。

必要性:

因为$\{C _\alpha \}$可加,所以存在$l \in \mathbb{R}$,使得任取$\epsilon >0$,存在$ A\in F(I)$,如果$B\in F(I)$并且$A\subset B$,那么

我们取定义中$B =\mathbb N$,所以必然有$A\subset B$,从而

这说明$\{C _\alpha \}_{\alpha \in N}$收敛。

接下来证明$\{C _\alpha \}_{\alpha \in N}$绝对收敛,利用反证法。假设$\{C _\alpha \}_{\alpha \in N}$条件收敛,那么由黎曼级数定理

特别地,我们取$a = l+1$,那么

接着取$\{C _\alpha \}$可加定义中的$B=\mathbb N$,因可加的定义中对求和次序没有要求,所以

从而

这与之前的叙述矛盾,从而$\{C _\alpha \}_{\alpha \in \mathbb N}$绝对收敛。

同极限的线性性质,我们给出如下定理:

Theorem 1

证明:

为了叙述方便,记$\sum_{\alpha\in I} C _\alpha^{(1)} = l_1,\sum_{\alpha\in I} C _\alpha^{(2)} = l_2$。

如果$|a|+|b|=0$,那么结论是平凡的,所以我们不妨假设$|a|+|b|>0$。

对于$\epsilon >0$,由可加性,存在$A_1,A_2 \in F(I)$使得当$B_1,B_2 \in F(I)$并且$A_1\subset B_1,A_2 \subset B_2$时,我们有

现在选择$A =A_1 \bigcup A_2 \in F(I)$,那么当$B\in F(I),A\subset B$时,$A_1 \subset A \subset B ,A_2 \subset A \subset B$,所以我们有

从而

所以结论成立。

同一般的极限一样,我们希望能找到不求出定义中的$l$而直接判断是否可加的方法,这样就给出了定理2

Theorem 2

证明:

充分性:

假设 $\sup \{\sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}:A\in F(I) \} <\infty$,那么由上确界的定义可知,任取$\epsilon >0$,存在$A\in F(I)$,使得

现在,如果$B\in F(I)$并且$A \subset B$,注意$l$为上确界,$C_{\alpha} \ge 0$,所以我们有

从而$\{C_\alpha\}$可加。

必要性:

对定义中的取$\epsilon = 1$,那存在$l \in \mathbb{R}$,使得任取$\epsilon >0$,存在$ A\in F(I)$,如果$B\in F(I)$并且$A\subset B$,那么

对于任意集合$C_1$,取$C=C_1\bigcup A$,那么$A\subset C$,所以

这说明任意和式都有上界$l+1​$,从而

补充一点,对于$C_{\alpha} \ge 0,\forall \alpha \in I$,如果$\sup \{\sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}:A\in F(I) \} =\infty$,那么$\{C_{\alpha}\}$不可加,由于$\{C_{\alpha}\}$是正数集合,所以

从而非负集合的$\sum_{\alpha \in I}C_{\alpha}​$永远有意义,或者为正无穷,或者为和$l$。