变分法 Lecture 1 变分学的几个经典例子

这段时间主要精力都在炼丹，魔改网络结构上，公开课不知不觉落下许多，最近准备继续投入精力进行学习，主要集中于一些数学基础课程上，最先开始的是変分学，这里列出一些学习资料：

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• 变分法基础%E3%80%8B%E8%80%81%E5%A4%A7%E4%B8%AD.pdf)

変分学是研究泛函极值的问题，这里不从定义出发，从几个经典例子开始进入介绍。

例1：最速降线

假设有不在同一铅垂线的两点$A$和$B$，在所有连接$A$和$B$的平面光滑曲线中，找出一条曲线，使得质点从$A$到$B$的时间最短（仅受重力的情况下）：

假设按上图方式建系，并假设$A(0, 0), B(x_1, y_1)$。根据能量守恒，曲线上任意一点$(x,y)$的速度为：

$$\begin{aligned} m g y &=\frac{1}{2} m v^{2} \\ v&=\sqrt{2gy} \end{aligned}$$

那么：

$$dt = \frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}} dx$$

总时间为：

$$T=\int_{0}^{y_1} dt =\int_{0}^{x_1} \frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}} dx$$

所以问题转换为：

$$\begin{aligned} \min_y &\int_{0}^{x_1} \frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}} dx \\ \mathrm{s.t.}& y(0) = 0, y(x_1)=y_1 \end{aligned}$$

这里的问题是一个极值问题，和函数极值的区别在于这里最小化的变量为函数$y(x)$。

例2：最小表面积之旋转体

假设有$A$和$B$两点和一条轴，考虑任意一条过$A$和$B$的曲线绕该轴旋转得到的旋转体，问使得表面积最小的旋转体是什么？

将轴视为$x$轴，按如下方式建系：

假设$A$的坐标为$(x_1, y_1)$，$B$的坐标为$(x_2,y_2)$，曲线为$y(x)$，考虑上图的虚线部分，其面积为：

$$2\pi y ds =2\pi y \sqrt{1+(y')^2} dx$$

所以总面积为：

$$S=2\pi \int_{x_1}^{x_2} y ds =2\pi \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+(y')^2} dx$$

所以问题转换为：

$$\begin{aligned} \min_y \quad &2\pi \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+(y')^2} dx \\ \mathrm{s.t.}\quad & y(x_1) = y_1, y(x_2)=y_2 \end{aligned}$$

例3：等周问题

长度一定的封闭曲线中，什么时候其面积最大？

不难证明要使得面积最大，曲线必然对称，所以可以按如下方式建系，不妨设对称轴为$x$轴，对称轴和曲线的最左侧和左右侧的交点分别为$A, B$，其中$A$过原点：

假设$A(0, 0), B(x_0, 0)$，曲线为$y(x)$，曲线的半周长为$c$，即：

$$c=\int_{0}^{x_0} \sqrt{1+(y')^2}dx$$

那么面积为：

$$S=\int_{0}^{x_0} y(x)dx$$

所以问题转换为：

$$\begin{aligned} \min_y \quad &\int_{0}^{x_0} y(x)dx \\ \mathrm{s.t.}\quad & \int_{0}^{x_0} \sqrt{1+(y')^2}dx =c \end{aligned}$$

例4：测地线

找到曲面上的两点$A,B$的最短路径。

假设$A(x_1,y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$，曲面方程为$\phi(x,y,z)=0$，那么测地线的长度为：

$$L=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\left(\frac{d z^{2}}{d x}\right)^{2}} d x$$

所以问题转换为：

$$\begin{aligned} \min_{\varphi} \quad &\int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d x}\right)^{2}} d x \\ \mathrm{s.t.}\quad & \varphi(x_1,y_1,z_1)=0, \varphi(x_2,y_2,z_2) = 0 \end{aligned}$$

小结

从上面几个例子中，可以看到，変分学主要目标就是找到一个函数，使得某个量（泛函）达到极值。