台交大随机过程 Lecture 3
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这次回顾第三讲,继续介绍基本概念,对应视频7-8。
半随机电报信号
继续上一讲的泊松过程,这里假设
计算
解:
对于
同理当
因此
泊松分布的和与差
如果
,并且两个过程独立那么
但是
不是泊松过程,计算概率可得:
其中
为
泊松点的随机选择
令
证明:
(1)首先证明
原因如下:
另一方面,任取区间
(2)其次证明独立性。
假设
泊松点和二项分布
命题:对于泊松过程
证明:
平稳族
- 平稳性:如果随机过程
的统计特性对于原点偏移不变,则称为严平稳(SSS)。 - 联合平稳性:如果两个随机过程的联合统计特性对于原点偏移不变,则它们是联合平稳的。
- 宽平稳性:如果随机过程
的均值和自相关函数对于原点偏移不变,则称为宽平稳(WSS)。 - 联合宽平稳性:如果两个随机过程
和 的均值和自相关函数以及它们的互相关函数对于原点偏移均不变,则它们是联合宽平稳的。 - 协方差平稳性:如果自协方差函数对于原点偏移不变,则过程
是协方差平稳的。 阶平稳性:如果任何 维统计量都关于原点偏移不变,则过程 是 阶平稳的。- 区间平稳性:如果过程
在该某区间内的统计特性对于原点的移动不变,则该过程在该区间中是平稳的。 即 和 具有相同的统计量,只要所有 和 都属于该区间。 - 渐近平稳:如果
是平稳的,则过程 是渐近平稳的,前提是存在极限。
重要定理
定理:
过程
其中
证明:
1.
如果
所以利用变量替换公式可得
注意到
所以
由于
以及
2.
对于固定的
其中
注意到
所以
推论1
如果
证明:
期望:
自相关函数:
推论2
如果
证明:
期望:
自相关函数:
推论3
如果
证明:
然后利用推论2的证明过程即可。
推论4
如果过程
证明:
第一部分,证明
首先由定理可得
的联合密度 是圆对称的,其中 。其次由
的独立性可得 。求导可得:
下面证明:
利用反证法,如果存在某个
考虑
但是
对
积分可得
由对称性得到
利用
可得
总结:圆对称和独立性可以推出高斯。
第二部分,证明
只要证明任意有限维服从联合正态分布即可,可以利用如下事实得到:
相关时间
WSS过程
例子
对于
其中
是利用了协方差矩阵半正定:
以及
备注:这里假设过程为实过程。