GAMES102 Lecture 17 Materials and Appearances

这里回顾GAMES101 Lecture 17，材质与外观。

课程主页：

• https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html

课程作业：

• http://games-cn.org/forums/topic/allhw/

课程视频：

• https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?spm_id_from=333.337.search-card.all.click

本讲内容

• 什么是计算机图形学中的材质？
  • 材质就是BRDF；

什么是材质

Diffuse / Lambertian material

光在每个输出方向均等地反射：

假设入射光是均匀的，根据能量守恒（假设不吸收能量），入射光和出射光的Irradiance相同：

$$\begin{aligned} L_o\left(\omega_o\right)&=\int_{\Omega^{+}} L_i\left(\omega_i\right) f_r\left(\omega_i, \omega_o\right)\left(n \cdot \omega_i\right) \mathrm{d} \omega_i \\ &=\int_{H^2} f_r L_i\left(\omega_i\right) \cos \theta_i \mathrm{~d} \omega_i \\ &=f_r L_i \int_{H^2} \cos \theta_i \mathrm{~d} \omega_i \\ &=\pi f_r L_i \end{aligned}$$

定义：

$$f_r=\frac{\rho}{\pi}$$

其中$\rho\in [0, 1]$称为albedo。

效果：

Glossy material (BRDF)

光只反射到某些角度：

效果（抛光的铜镜）：

Ideal reflective/refractive material (BSDF)

有折射和反射：

效果：

完美反射

反射定律：入射方向方向等于反射方向：

根据平行四边形法则：

$$\begin{aligned} &\omega_o+\omega_i=2 \cos \theta \overrightarrow{\mathrm{n}}=2\left(\omega_i \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}\right) \overrightarrow{\mathrm{n}} \\ &\omega_o=-\omega_i+2\left(\omega_i \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}\right) \overrightarrow{\mathrm{n}} \end{aligned}$$

上右图是指俯视图。

镜面折射

除了从表面反射之外，光还可以通过表面传输。光线进入新介质时会发生折射。

斯涅尔定律

透射角取决于入射光线的折射率(IOR)出射光线的折射率(IOR)，下右图依然为俯视图：

斯涅尔定律即为：

$$\eta_i \sin \theta_i=\eta_t \sin \theta_t$$

折射定律

根据斯涅尔定律，我们可得：

$$\begin{aligned} \cos \theta_t &=\sqrt{1-\sin ^2 \theta_t} \\ &=\sqrt{1-\left(\frac{\eta_i}{\eta_t}\right)^2 \sin ^2 \theta_i} \\ &=\sqrt{1-\left(\frac{\eta_i}{\eta_t}\right)^2\left(1-\cos ^2 \theta_i\right)} \end{aligned}$$

上式有意义，当且仅当：

$$1-\left(\frac{\eta_i}{\eta_t}\right)^2\left(1-\cos ^2 \theta_i\right)<0$$

如果该式成立，那么会发生不会发生折射。

上式可能发生，当且仅当：

$$\frac{\eta_i}{\eta_t} > 1$$

此时称为全反射：

• 当光从光密度较高的介质移动到光密度较小的介质时：$\frac{\eta_i}{\eta_t} > 1$。
• 从足够大的角度入射到边界上的光不会离开介质。

Snell’s Window/Circle

Snell’s Window是指人在水底只能看到一个锥形区域：

当角度大于某个阈值时，会发生全反射。

Fresnel Reflection/Term（菲涅尔项）

反射率取决于入射角（和光的偏振）。下例，反射率随着入射角的增加而变化，垂直看时不会发生反射，平行看时反射更明显：

这说明反射项随着角度而变化，菲涅尔项就是为了描述这点：

另一个现象：

• 在公交车内看前座的玻璃，会看到反射出来的车子，人等等；
• 看自己旁边的玻璃，则会看到外部的风景；
• 原因也是因为菲涅尔项；

计算公式：

$$\begin{aligned} &R_{\mathrm{s}}=\left|\frac{n_1 \cos \theta_{\mathrm{i}}-n_2 \cos \theta_{\mathrm{t}}}{n_1 \cos \theta_{\mathrm{i}}+n_2 \cos \theta_{\mathrm{t}}}\right|^2=\left|\frac{n_1 \cos \theta_{\mathrm{i}}-n_2 \sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_{\mathrm{i}}\right)^2}}{n_1 \cos \theta_{\mathrm{i}}+n_2 \sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_{\mathrm{i}}\right)^2}}\right|^2, \\ &R_{\mathrm{p}}=\left|\frac{n_1 \cos \theta_{\mathrm{t}}-n_2 \cos \theta_{\mathrm{i}}}{n_1 \cos \theta_{\mathrm{t}}+n_2 \cos \theta_{\mathrm{i}}}\right|^2=\left|\frac{n_1 \sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_{\mathrm{i}}\right)^2}-n_2 \cos \theta_{\mathrm{i}}}{n_1 \sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_{\mathrm{i}}\right)^2}+n_2 \cos \theta_{\mathrm{i}}}\right|^2 \\ &R_{\mathrm{eff}}=\frac{1}{2}\left(R_{\mathrm{s}}+R_{\mathrm{p}}\right) \end{aligned}$$

上述公式比较复杂，所以有Schlick’s近似（插值的思想）：

$$\begin{aligned} R(\theta) &=R_0+\left(1-R_0\right)(1-\cos \theta)^5 \\ R_0 &=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2 \end{aligned}$$

微表面材质（模型）

微表面材质是指从远处看物体，看不到物体细节，看到的是一个总体效应。

微表面

• 粗糙的表面
  • 宏观尺度：平坦和粗糙；
  • 围观尺度：凹凸不平和镜面反射；
• 表面的各个元素就像镜子一样
  • 称为微表面；
  • 每个微面都有自己的法线；

整体思想：

• 远处看到外观；
• 近处看到几何；

图示：

微表面BRDF

关键：微表面法线的分布

• 集中<==>glossy
• 分散<==>diffuse

图示：

根据之前的讨论，我们可以用微表面的法线分布描述微表面的粗糙程度：

说明：

• $F(i, h)$：菲涅尔项；
• $D(h)$：法线分布；
  • 只有当微表面的法线方向和half vector $h$完全一致时，才能把入射方向反射到反射方向；
  • $D(h)$就是计算有多少法线方向和half vector $h$完全一致；
• $G(i,o, h)$：几何项；
  • 考虑微表面的相互遮挡；

各项异性/同性材质

各项异性/同性也是区分材质的一种方式：

• 各项同性：微表面不存在方向性；
• 各项异性：微表面具有明确的方向性；

图示：

各向异性BRDF

$$f_r\left(\theta_i, \phi_i ; \theta_r, \phi_r\right) \neq f_r\left(\theta_i, \theta_r, \phi_r-\phi_i\right)$$

反射取决于方位角！来自表面的定向微观结构的结果，例如拉丝金属：

各向同性BRDF

示例为尼龙和天鹅绒：

BRDF性质

非负性：

$$f_r\left(\omega_i \rightarrow \omega_r\right) \geq 0$$

线性性：

$$L_r\left(\mathrm{p}, \omega_r\right)=\int_{H^2} f_r\left(\mathrm{p}, \omega_i \rightarrow \omega_r\right) L_i\left(\mathrm{p}, \omega_i\right) \cos \theta_i \mathrm{~d} \omega_i$$

可逆性：

$$f_r\left(\omega_r \rightarrow \omega_i\right)=f_r\left(\omega_i \rightarrow \omega_r\right)$$

能量守恒：

$$\forall \omega_r \int_{H^2} f_r\left(\omega_i \rightarrow \omega_r\right) \cos \theta_i \mathrm{~d} \omega_i \leq 1$$

各向同性与各向异性：

• 如果各项同性：$f_r\left(\theta_i, \phi_i ; \theta_r, \phi_r\right)=f_r\left(\theta_i, \theta_r, \phi_r-\phi_i\right)$；
• 那么，根据可逆性：$f_r\left(\theta_i, \theta_r, \phi_r-\phi_i\right)=f_r\left(\theta_r, \theta_i, \phi_i-\phi_r\right)=f_r\left(\theta_i, \theta_r,\left|\phi_r-\phi_i\right|\right)$；

测量BRDF

• 之前的模型有简化和误差；
• 有些场景我们需要自己测量BRDF；

基于图像的BRDF测量

遍历光源和相机的位置：

一般方式

算法：

• 对每个传出方向$w_o$
  • 用来自$w_o$的细光束移动光线以照亮表面
  • 对于每个传入方向$w_i$
    • 将传感器从表面移动到方向$w_i$测量incident radiance

提高效率：

• 各向同性表面将维度从4D降低到3D
• 可逆性将测量次数减少了一半
• 巧妙的光学系统

其他

剩余的内容略过。