GAMES102 Lecture 12 Geometry 3
这里回顾GAMES101 Lecture 12，这一讲会继续介绍曲面。
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本讲内容
网格操作中的几何处理部分：
- 网格细分；
- 网格简化；
- 网格正则化；
网格细分是指上采样，即增加分辨率：
网格简化是指下采样，即降低分别率，并且尽量保持形状：
网格正则化（使用相同的三角形，修改样本分布以提高质量）：
后续会介绍这些操作的细节。
网格细分
Loop细分
Loop细分是三角形网格的常用细分规则：
- 创建更多的三角形（顶点）；
- 调整位置；
例子：
来看下具体细节。
将每个三角形一分为四；
根据权重分配新的顶点位置；
新/旧顶点更新方式不同；
更新
对于新顶点：
更新策略为：
对于旧顶点（例如此处的6度顶点）：
更新策略为：
其中：
- $n$：顶点的度；
- 如果$n=3$，那么$u=3/16$；否则$3/8n$；
结果：
注意到Loop细分只能处理三角形，更一般的情形则需要使用其他算法。
Catmull-Clark细分（一般网格）
首先给出两个定义：
- 非四边形面；
- 奇异点：度不为4的点；
例如对于下图：
- 三角形标记的区域是非四边形面，即有2个非四边形面；
- 紫色的点是奇异点，即有2个奇异点；
每次细分步骤：
- 在每个面上添加顶点；
- 在每条边上添加中点；
- 连接所有新顶点；
细分结果：
那么一次细分后：
- 有多少个奇异点？
- 4个奇异点；
- 有多少个非四边形面？
- 无；
总结后不难发现：
- 一次细分后会消除所有非四边形面；
- 每个非四边形面都会增加一个奇异点；
多次细分的结果：
更新
以四边形面为例，整体更新规则为如下。
对于面上的点：
更新公式：
对于边上的顶点：
更新公式：
对于顶点：
更新公式：
注意到，更新的整体思路是计算周围点的加权平均值。
两种方法的效果展示
网格简化
网格简化的目标是在保持整体形状的同时减少网格元素的数量，对于下图，如果在很远处观察3000个三角形的结果和30000个三角形的结果几乎相同：
那么具体该如何操作呢？一个思路是边坍缩，将边换成一个顶点，然后重新连接：
那么现在的问题就是该选择哪条边？以下图为例：
假设我们需要把上图中的3个点变成1个点，一个方式是求平均值，即得到上图，这样做的问题是，化简后的三角形永远无法覆盖原来的多边形。
为了解决这点，引入了二次误差度量，我们希望：
- 新顶点到原三角形平面的距离平方和（L2 距离）最小；
根据二次度量误差，我们可以使用如下贪心算法进行边坍缩。
算法
- 对于每条边，计算二次误差度量；
- while True:
- 找到二次度量误差最小的边；
- 坍缩这条边，并且更新和边顶点相连的边；
- 如果条件满足，则退出循环；
该算法需要使用优先队列。
效果展示
在继续之前，我们来讨论下阴影。注意到光栅化部分介绍的着色只考虑局部，没有考虑全局，所以很难处理阴影，一个解决方案是阴影映射。
阴影映射（贴图）
- 阴影映射是图像空间算法：
- 在阴影计算期间不需要了解场景的几何形状；
- 必须处理走样；
- 只能处理点光源，阴影有明显的边界；
- 关键思想：
- 不在阴影中的点必须同时被光和相机看到；
基于该思想，介绍如下算法。
算法
基于之前的思想，算法即为从光源和眼睛处分别看两次物体，计算深度。
Pass 1: 从光源看向场景
第一步先从在光源处放一个虚拟的摄像机，判断哪些物体可以看到，即计算深度图：
Pass 2A: 从眼睛看向场景
第二步在眼睛处放一个摄像机，判断哪些物体可以看到，即计算深度1：
Pass 2B: 从眼睛看向场景
对于摄像机看得到的点，计算该点到光源的深度2，如果深度1=深度2，则表示该点不在阴影中，可以从下图中理解这点：
可视化阴影贴图
阴影映射的一些问题
- 硬阴影（仅限点光源）；
- 质量取决于阴影贴图分辨率
（基于图像的技术的普遍问题）； - 涉及浮点深度值的相等比较；
- 浮点数的相等判断很困难；
硬阴影 vs 软阴影
区别：
硬阴影边缘非常锐利，软阴影边缘过渡很平滑。为了解释产生软阴影的原因，需要介绍两个概念:
- 本影：完全看不到光源；
- 半影：部分看到光源；
软阴影就是半影，以日食图为例：
黑色区域即为本影区域，灰色部分为半影区域。