这里回顾GAMES101 Lecture 4，变换（续）。

课程主页：

课程作业：

课程视频：

参考资料：

本讲内容

  • 3D变换
  • 观测变换
    • 视图/相机(view/camera)变换
    • 投影(projection)变换
      • 正交投影
      • 透视投影

3D变换

对于3D变换，依然使用其次坐标：

  • 对于3D point，利用$(x, y,z,1)^T$表示；
  • 对于3D vector，利用$(x,y,z,0)^T$表示；
  • 通常其次坐标$(x,y,z, w)$对应于点$(x/w, y/w, z/w)$；

仿射变换的矩阵形式为：

伸缩

伸缩变换：

平移

平移变换：

旋转

绕x, y, z轴旋转的矩阵：

这里$\mathbf R_y(\alpha)$的形式和$\mathbf R_x(\alpha),\mathbf R_z(\alpha)$不同，这是因为$\vec y = \vec z\times \vec x$。

对于一般的旋转，可以表示为：

$\alpha, \beta,\gamma$被称为Euler角；上述等式可以通过飞行器理解，飞行器中，有三个方向（roll, pitch, yaw），飞机的旋转可以分解为绕着三个轴旋转：

罗德里格斯旋转公式

对于一般的情形，即绕任意轴$\mathbf n$（单位向量）旋转角度$\alpha$的矩阵可以用罗德里格斯旋转公式描述：

首先要理解向量绕轴旋转的含义，其含义为将向量沿平行于轴和垂直于轴分解，平行于轴方向的分量不旋转，垂直于轴方向的分量进行旋转，这可以用下图理解：

备注：图片来自于博客。

在证明之前，给出两个引理：

叉积的矩阵表示：

叉积化简：

取$\mathbf B= \mathbf A$：

特别地，如果$\mathbf A$为单位向量，即$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=1$，那么：

现在根据上述引理给出证明。

证明：

给定轴$\mathbf k$，对于任意向量$\mathbf v$，将其沿$\mathbf k$和垂直于$\mathbf k$分解：

那么：

根据叉积化简定理，第二式可以变换为：

根据之前对旋转的讨论，可以在垂直于$\mathbf k$的平面内对$\mathbf{v}_{\perp}$进行旋转，特别的，将$\mathbf{v}_{\perp}$作为$x$轴，$\mathbf n \times \mathbf{v}_{\perp}$作为$y$轴即可，旋转后的结果为：

所以最后的结果为：

倒数第二个等号利用了如下事实：

观测转换

视图/相机变换

  • 什么是视图变换？
  • 考虑如何拍照
    • 找个好地方然后安排拍摄人（模型(model)变换）
    • 找到一个好的“角度”来放置相机（视图(view)变换）
    • Cheese！（投影(projection)变换）
    • 合起来称为MVP。

为了介绍相机变换，首先定义相机，相机由如下三个量描述：

  • position $\vec e$
    • 相机向量；
  • look-at / gaze direction $\vec g$
    • 相机朝向；
  • up direction $\vec t$
    • 相机角度；

图示如下：

注意到如果相机和所有物体一起移动，“照片”将是相同的，所以我们总是将相机变换成

  • 在原点位置，up direction为$Y$，gaze direction为$-Z$；
  • 并与相机一起变换物体

图示：

假设上述变换为$M_{view}$，那么在数学上为：

  • 平移到原点；
  • 旋转$\vec g$到$-Z$；
  • 旋转$\vec t$到$Y$；
  • 旋转$(\vec g\times \vec t)$到$X$；

图示：

将变换分解为平移和旋转，即：

那么：

而$R_{v i e w}$是很难描述的，考虑其逆变换$R_{v i e w}^{-1}$，可以理解为将$X$轴旋转到$(\vec g\times \vec t)$，$Y$轴旋转到$\vec t$，$Z$轴旋转到$-\vec g$：

利用正交矩阵的逆为其转置，可得：

视图/相机变换小结：

  • 与相机一起变换物体；
  • 直到相机在原点，up在$Y$轴，look at $-Z$；
  • 后续变换的基础；

投影(projection)变换

计算机图形学中的投影：

  • 3D到2D；
  • 正交投影；
  • 透视投影；

透视投影可以带来近大远小的效果：

正交投影

正交投影一种简单的理解方式：

  • 相机位于原点，look $-Z$，up at $Y$（看起来很熟悉？）；
  • 删除$Z$坐标；
  • 将生成的矩形平移并缩放为$[-1, 1]^2$；

一般情况下：

  • 我们希望将立方体$[l, r] \times[b, t] \times[{f}, {n}]$映射到规范立方体$[-1, 1]^3$；
  • 我们先将立方体平移；
  • 再将立方体缩放；

变换矩阵为：

补充：

  • 沿着$-Z$观察，使远近不直观因为此时($n > f$)；
  • 仅供参考：这就是 OpenGL（图形 API）使用左手坐标系的原因；

透视投影

透视投影：

  • 最常见于计算机图形学、艺术、视觉系统；
  • 远处物体更小；
  • 平行线不平行，相交到单点；

在继续之前，回顾齐次坐标的性质：

  • $(x,y ,z ,1), (kx, ky, kz, k\neq 0), (xz, yz, z^2, z\neq 0)$在3D中都表示$(x, y, z)$；
  • 例如，$(1,0,0, 1)$和$(2, 0, 0, 2)$都表示$(1, 0, 0)$；

那么如何进行透视投影？

  • 首先将frustum“挤压”成一个长方体 ($n\to n, f\to f , M_{perp\to ortho}$）；
  • 然后进行正交投影（利用已知的$M_{ortho}$）；

为了找到变换，我们可以找到变换后的关系，即点$(x’, y’, z’)$和原始点$(x, y, z)$：

丛上图中，可以看到关系为：

在齐次坐标下，坐标之间的关系为：

所以$M_{perp\to ortho}$作用为：

因此不难看出：

现在的问题是求解第三行，这里可以利用两个信息：

  • 近平面上的任何点都不会改变；
  • 远平面上任何点的$z$都不会改变；

对于第一点，公式1中将$z$替换为$n$可得：

由于上式对于任意的$x, y$都成立，因此$M_{p e r s p \rightarrow o r t h o}^{(4 \times 4)} $的第三行为：

对应的方程为：

对于第二点，原平面上的特殊点$(0, 0, f)$，那么：

对应的方程为：

求解可得：

即：

因此，最终的变换为：