GAMES101 Lecture 2 Review of Linear Algebra

这里回顾GAMES101 Lecture 2，线性代数复习。

课程主页：

• https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html

课程作业：

• http://games-cn.org/forums/topic/allhw/

课程视频：

• https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?spm_id_from=333.337.search-card.all.click

参考资料：

• https://zh.m.wikipedia.org/zh-hans/%E5%8F%89%E7%A7%AF

大部分内容都比较熟悉，这里回顾下外积的内容。

外积

定义

外积$\vec a\times \vec b$是与$\vec a$和$\vec b$都垂直的向量$\vec c$，方向由右手定则决定，模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积，定义为：

$$\vec a \times \vec b = \|\vec a\| \|\vec b\| \sin (\theta) \vec n$$

其中$\theta$为$\vec a, \vec b$的夹角（$0\le \theta \le \pi$），$\vec n$为与$\vec a, \vec b$平面垂直的单位向量，方向由右手定则决定。

性质

外积满足如下性质：

$$\begin{gathered} \vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a} \\ \vec{a} \times \vec{a}=\overrightarrow{0} \\ \vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c} \\ \vec{a} \times(k \vec{b})=k(\vec{a} \times \vec{b}) \end{gathered}$$

坐标表示

右手坐标系的基向量$\vec i, \vec j, \vec k$满足如下等式：

$$\begin{aligned} \vec i \times \vec j & = \vec k\\ \vec j \times \vec k &= \vec i\\ \vec k \times \vec i &= \vec j \end{aligned}$$

根据反交换律可得：

$$\begin{aligned} \vec j \times \vec i & = -\vec k\\ \vec k \times \vec j &= -\vec i\\ \vec i \times \vec k &= -\vec j \end{aligned}$$

对于向量$\vec u, \vec v $，其坐标表示为：

$$\begin{aligned} \vec u &= u_1 \vec i +u_2 \vec j + u_3\vec k \\ \vec v &= v_1 \vec i +v_2 \vec j + v_3\vec k \end{aligned}$$

根据分配率可得：

$$\begin{aligned} \vec u \times \vec v =& ( u_1 \vec i +u_2 \vec j + u_3\vec k )\times (v_1 \vec i +v_2 \vec j + v_3\vec k)\\ =& u_1 v_1(\vec {i} \times \vec {i})+u_1 v_2(\vec {i} \times \vec {j})+u_1 v_3(\vec {i} \times \vec {k})+ \\ &u_2 v_1(\vec {j} \times \vec {i})+u_2 v_2(\vec {j} \times \vec {j})+u_2 v_3(\vec {j} \times \vec {k})+ \\ &u_3 v_1(\vec {k} \times \vec {i})+u_3 v_2(\vec {k} \times \vec {j})+u_3 v_3(\vec {k} \times \vec {k}) \\ =&-u_1 v_1 \vec {0}+u_1 v_2 \vec {k}-u_1 v_3 \vec {j} \\ &-u_2 v_1 \vec {k}-u_2 v_2 \vec {0}+u_2 v_3 \vec {i} \\ &+u_3 v_1 \vec {j}-u_3 v_2 \vec {i}-u_3 v_3 \vec {0} \\ =&\left(u_2 v_3-u_3 v_2\right) \vec {i}+\left(u_3 v_1-u_1 v_3\right) \vec {j}+\left(u_1 v_2-u_2 v_1\right) \vec {k} \end{aligned}$$

即：

$$\vec u\times \vec v=\left(\begin{array}{c} u_2 v_3-u_3 v_2 \\ u_3 v_1-u_1 v_3 \\ u_1 v_2-u_2 v_1 \end{array}\right)$$

利用行列式可以表示为：

$$\vec{u} \times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array}\right|$$

利用矩阵形式可以表示为：

$$\vec{u} \times \vec{v}=A^* \vec v=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -u_3 & u_2 \\ u_3 & 0 & -u_1 \\ -u_2 & u_1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$$

应用

• 判断向量的左右关系；
• 判断内外关系；

对于左右关系（下左图），可以通过计算$\vec a \times \vec b$的$z$分量来判断，$z$分量为正表示$\vec b$在$\vec a$的左边，反之为右边。

对于内外关系（下右图），可以通过如下方式判断，在三角形内部当且仅当：

$$(\vec{AB}\times \vec{AP}).z > 0 \text{ and } (\vec{BC}\times \vec{BP}).z > 0 \text{ and } (\vec{CA}\times \vec{CP}).z > 0$$