课程主页:https://www.coursera.org/learn/dsp2

这一讲介绍了Stochastic and Adaptive Signal Processing。

平稳过程

宽平稳过程(WSS)的期望方差满足如下条件:

自相关函数满足如下条件:

如果$X[n],Y[n]$都是宽平稳过程,那么互相关函数满足如下条件:

功率谱密度(PSD)

定义

功率谱密度定义为

考虑平稳过程的PSD,首先我们有

所以

所以

其中

显然有

所以

类似的,如果$X[n],Y[n]$是WSS,那么

白噪声

白噪声定义如下

功率谱密度为

随机信号处理

考虑LTI系统,脉冲响应为$h[n]$,那么

时域分析

如果$X[n]$是WSS,那么

可以证明,此时$Y[n]$也是WSS,这里计算其自相关函数:

这说明

并且

利用卷积的表示可得

类似的,我们有

频域分析

利用之前的两个公式不难得到如下恒等式:

例子

考虑如下系统:

输入:

其中$S[n]$是无噪声信号,$W[n]$是噪声,通过滤波器$h[n]$,我们得到$\hat S[n]$,我们希望$\hat S[n]$尽可能接近$S[n]$。(假设滤波器为LTI系统)

注意到我们有

我们的目标是最小化

求偏导可得

写成矩阵形式为